2023年湖南省岳阳市第九中学中考数学模拟试卷（5月份）(含答案)

2023年湖南省岳阳九中中考数学模拟试卷（5月份）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数为(    )

A.  B.  C. 或 D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  下面四个立体图形中主视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，已知，，平分，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  下列命题中正确的是(    )

A. 对角线垂直且相等的四边形是菱形
B. 一组对边平行一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D. 对角线相等的矩形是正方形

7.  调查某少年足球队位队员的年龄，得到数据结果如表：

则该足球队队员年龄的众数和中位数分别是(    )

A. 岁，岁 B. 岁，岁 C. 岁，岁 D. 岁，岁

8.  定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为已知点，的坐标分别为，，连结，若线段与二次函数的相关函数的图象有两个公共点，则的取值范围为(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  函数的自变量的取值范围是______ ．

10.  若代数式的值为，则代数式的值为______ ．

11.  分解因式： ______ ．

12.  张丘建算经是一部数学问题集，其内容、范围与九章算术相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？若买得公鸡和母鸡之和不超过只，且买得公鸡数不低于母鸡数，则此时买得小鸡______只．

13.  如图，在中，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，所画的弧交于两点，再连接该两点所在直线交于点，连接若，则的长为______．

14.  关于的方程的两实数根，满足，则 ______ ．

15.  已知数，规定运算：，，，，，按上述方法计算：当时，______．

16.  如图，在中，为直径，于点，点为上一点，点关于的对称点恰好在直径上，连接，，，．
若，，则的长为______ 结果保留．
若，：：，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
如图，在四边形中，，，是上一点，交于，连接．
求证：．
若，试证明四边形是菱形．

19.  本小题分
课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，：很好；：较好；：一般；：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
王老师一共调查了多少名同学？
类女生有______名，类男生有______名，将条形统计图补充完整；
为了共同进步，王老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
 

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，与轴交于点．
分别求出这两个函数的表达式；
根据图象直接写出不等式的解集；
求的面积．

21.  本小题分
六一前夕，某幼儿园园长到厂家选购、两种品牌的儿童服装，每套品牌服装进价比品牌服装每套进价多元，用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．
求、两种品牌服装每套进价分别为多少元？
该服装品牌每套售价为元，品牌每套售价为元，服装店老板决定，购进品牌服装的数量比购进品牌服装的数量的倍还多套，两种服装全部售出后，要使总的获利不低于元，则最少购进品牌的服装多少套？

22.  本小题分
小明家为相应政府“全民健身”号召，准备买一台跑步机，周末和家人一起去科尼斯百货购买，爱动脑筋的小明想用刚刚学过的三角函数的有关知识求助跑步机踏板的长度图分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知跑步机手柄的一端的高度约为，踏板与地面的夹角为，支架长为，为求跑步机踏板的长度精确到．
参考数据：，，
 

23.  本小题分
小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点、、、分别在边、、、上，若，则”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案：
方案一：过点作交于点，过点作交于点；
方案二：过点作交于点，过点作交于点
对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明如图．
如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设，如图，试探究、之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为，的长为如图，试求的长度．
 

24.  本小题分
如图，抛物线交轴于点和点在左边，与轴交于点，是抛物线上第一象限内的一个动点．

求，，三点的坐标；
连接交线段于点，当与轴不平行时，的最大值 ______ ；
若直线交于点，是否存在这样的点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此判断即可．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，正确，该选项符合题意；
B、，原计算错误，该选项不符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查的是同底数幂的乘法，积的乘方，单项式乘以单项式，平方差公式，掌握以上知识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、圆锥的主视图为三角形，符合题意；
B、正方体的主视图为正方形，不符合题意；
C、球的主视图为圆，不符合题意；
D、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；
故选：．
找到从正面看所得到的图形为三角形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
解集表示在数轴上为：
，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找”是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
平分，
，
，
，
故选：．
由两直线平行，内错角相等得到，由角平分线的定义得到，最后根据两直线平行，内错角相等即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、对角线垂直且平分的四边形是正方形，故此题错误，不符合题意；
B、两组对边平行的四边形是平行四边形，故此题错误，不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此题正确，符合题意；
D、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，故此题错误，不符合题意．
故选：．
根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定解答即可．
本题考查正方形的判定，关键是根据平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定定理解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：该足球队队员年龄岁出现的次数最多，故众数为岁．
数据共个，中位数为第个和第个数据的平均数，
中位数为：岁．
故选：．
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
本题考查了中位数和众数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值是解题的关键．
首先确定出二次函数的相关函数与线段恰好有个交点、个交点、个交点时的值，然后结合函数图象可确定出的取值范围．
【解答】
解：如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点，

二次函数的对称轴为，
当时，，即，解得，
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰好个公共点．

抛物线与轴交点纵坐标为，
，
解得：；
由相关函数的定义可知，当时，抛物线与轴交点实际取不到，是空心圆圈，
当时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点，
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
，
如图所示：线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．

抛物线经过点，
，解得：，
时，线段与二次函数的相关函数的图象恰有个公共点．
综上所述，的取值范围是或，
故选：．  

9.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：代数式的值为，
，
，




．
故答案为：．
将代数式适当变形，利用整体代入的方法计算即可得出结论．
本题主要考查了求代数式的值，掌握整体代入的方法计算是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再运用平方差公式分解即可．
本题考查提公因式与公式法综合运用分解因式，熟练掌握用提公因式与公式法分解因式是解题的关键，注意分解因式要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解：设公鸡买了只，母鸡买了只，则小鸡买了只，
依题意，得：，
，均为正整数，
，，．
，且，
，，
．
故答案为：．
设公鸡买了只，母鸡买了只，则小鸡买了只，根据总价单价数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数、且，即可得出，的值，再将其代入中即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：由作法得点在的垂直平分线上，
．
故答案为：．
利用基本作图得到点在的垂直平分线上，然后根据线段垂直平分线的性质求解．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程有两实数根，
，
，
，为方程的两实数根，
，即，
解得：或舍去．
故答案为：．
由方程有两实数根可得，得到，利用根于系数的关系可得，求出即可．
本题主要考查根的判别式、根与系数的关系，注意题目中的隐含条件：方程有两实数根，则，以此得出的取值范围是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，，，，，
所以运算结果，，循环出现，
因为，
所以，
因为，
所以，
故答案为：．
通过计算发现运算结果，，循环出现，再确定所求的和一共有组循环多一个，由此求解即可．
本题考查数字的变化规律，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
 

16.【答案】  

【解析】解：连接，，

，
，
为的直径，，
，
，
，
的长，
故答案为：；
连接，

：：，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
解得：或舍去，
，
在中，，
点关于的对称点恰好在直径上，
，
为的直径，，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理可得，再利用垂径定理可得，从而可得，然后利用弧长公式进行计算，即可解答；
连接，根据已知可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，根据垂直定义可得，从而可得，然后证明∽，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，根据轴对称的性质可得，最后根据已知易得是的垂直平分线，从而可得，进而可得是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式． 

【解析】利用负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
 

18.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是菱形． 

【解析】根据证明≌，即可解决问题；
先证明，根据已知可得，利用四边相等即可解决问题；
本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题
 

19.【答案】名．
所以王老师一共调查了名学生．
； 
补充条形统计图如下：

由题意画树状图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有种，且每种结果出现的可能性相等，
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有种．
所以所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学． 

【解析】

解：见答案
类学生人数：名
类女生人数：名，
类学生占的百分比：，
类学生人数：名，
类男生人数：名，
故C类女生有名，类男生有名；
补充条形统计图见答案；
见答案
【分析】
根据类有人，所占的比例是，据此即可求得总人数；
利用中求得的总人数乘以对应的比例即可求得类的人数，然后求得类中女生人数，同理先求得所占百分比，进而求得类男生的人数；
利用列举法即可表示出各种情况，然后利用概率公式即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表或画树状图求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．  

20.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，
，
反比例函数为，
，
即，
把和代入一次函数中得：
，
解得，
一次函数，反比例函数；
由图象可得：当时，；
一次函数与轴交于点，
点，
，
的面积为：． 

【解析】将点，点代入解析式，即可求解；
结合图象可求解；
根据一次函数确定点的坐标，计算的面积即可．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，
由题意得：
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：品牌服装每套进价为元，品牌服装每套进价为元；
设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，
由题意得：，
解得：，
答：至少购进品牌服装的数量是套． 

【解析】本题考查了分式方程组的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意，表示出、两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．
首先设品牌服装每套进价为元，则品牌服装每套进价为元，根据关键语句“用元购进种服装数量是用元购进种服装数量的倍．”列出方程，解方程即可；
首先设购进品牌的服装套，则购进品牌服装套，根据“可使总的获利超过元”可得不等式，再解不等式即可．
 

22.【答案】解：过点作于，交于．
与地面的夹角为，为，
，
，
在中，，
则．
在中，，
跑步机踏板的长度约为． 

【解析】过点作于，交于在中，根据三角函数可求，则，然后在中，根据三角函数可求的长度．
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
 

23.【答案】解：证明：过点作交于点，作交的延长线于点，
，，
在正方形中，，
，
，
，
在和中，，，
≌
，即


结论：：：
证明：过点作交于点，作交的延长线于点，
，，在长方形中，，，
，
，
．
∽．
，
，，
；

解：过点作交于点，过点作交于点，
．
在中，．
将绕点顺时针旋转到．
与的夹角为，
，
，即，
从而≌，
．
设，则，．
在中，解得．
． 

【解析】过点作交于点，作交的延长线于点，利用正方形，，求证≌即可．
过点作交于点，作交的延长线于点，利用在长方形中，，求证∽再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．
过点作交于点，过点作交于点，将绕点顺时针旋转到从而求证≌，得出再设，根据勾股定理列方程即可求解．
此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．
 

24.【答案】 

【解析】解：当时，，
，
当时，，
解得，
，，
综上，，，；

过点作交于点，如图，

设直线的解析式为，
又，，
将两点坐标代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设点的横坐标为，则，，
，
，
∽，



，
．
抛物线开口向下，图象有最高点，
当时，的最大值为；
故答案为：；

，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，

过作轴于，
则，
依题意，，
设的解析式为，
是公共角，
∽或∽，
当∽时，
，
即，
解得：，
，，
此时，
则，
解得，，
解析式为，
解得：
或不合题意，舍去，
当∽时，
，即，
解得，，
，则，
此时，
则，
解析式为，
解得或舍去，
综上，点横坐标为或者时符合题意．
对于，令，得；令，得，，从而可得结论；
运用待定系数法求出直线的解析式为，过点作交于点，设，得，求出，，证明∽，得，得，再运用二次根式的性质可得结论；
由勾股定理求出，过作，可求，设的解析式为，分∽和∽两种情况利用相似三角形的性质求出点的坐标，从而求出直线的解析式，再联立方程并求解方程即可得到点的横坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质、二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第问将比例转化是关键，第问求出点坐标是解题关键．