【全套精品专题】初中数学同步 9年级上册 第26课 切线长定理（教师版含解析）

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第26课 切线长定理

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课程标准
1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；
2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.

知识精讲


知识点01 切线的判定定理和性质定理
1．切线的判定定理：
　　经过半径的 并且 的直线是圆的切线.
要点诠释：
切线的判定方法：
(1)定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；
(2)定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆 ，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可).

2．切线的性质定理：
　　圆的切线 .
要点诠释：
切线的性质：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
知识点02 切线长定理

1．切线长：
　　经过圆外一点作圆的切线， 的长，叫做这点到圆的切线长.

要点诠释：
　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2．切线长定理：
　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分 .
要点诠释：
　　切线长定理包含两个结论： 相等和 相等.

3．圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的 相等.

知识点02 三角形的内切圆

1．三角形的内切圆：
　　与三角形各边 的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：
　　三角形内切圆的圆心是三角形 的交点，叫做三角形的内心.
　要点诠释：
　　(1) 任何一个三角形都 内切圆，但任意一个圆都有 个外切三角形；
　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
　　(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称
确定方法
图形
性质
外心(三角形外接圆的圆心)



内心(三角形内切圆的圆心)




能力拓展


考法01 切线长定理
【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O的切线.


【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=AB+DC，AD是⊙O的直径．
求证：BC和⊙O相切．


【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，
求证：DC是⊙O的切线．



【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O，交AN于D、E两点，
设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；
⑵如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．

考法02 三角形的内切圆
【典例3】已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．
(Ⅰ)如图1，求∠AOD的度数；
(Ⅱ)如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；
(Ⅲ)如图2，若F是AD的中点，在(Ⅱ)中条件下，求FO的长．

考法03 与相切有关的计算与证明
【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．



分层提分


题组A 基础过关练
1．下列说法中，不正确的是 ( )
A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部
C．垂直于半径的直线是圆的切线
D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等
2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为( )
A．(a＋b＋c)r B．2(a＋b＋c) C．(a＋b＋c)r D．(a＋b＋c)r
3．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于( )

A．150° B．130° C．155° D．135°
4．如图所示，⊙O的外切梯形ABCD中，如果AD∥BC，那么∠DOC的度数为( )

A．70° B．90° C．60° D．45°
5．如图，是的切线，切点为A，PA=2,∠APO=30°，则的半径为
O
P
A


A．1 B.
C.2 D.4
6．如图:⊙O是△ABC的内切圆,D、E、F是切点，若∠DEF=50º，则∠A等于( )


A．40º B．50º C．80º D．100º
7．如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为________．

8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC为____________度．


题组B 能力提升练
1．如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设、的长分别为、，线段ED的长为，则的值为___

2．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点.
求证：直线EF是半圆O的切线.

3．在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：
(1)DE是⊙O的切线；
(2)AB＝AC．

4．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=8cm，求：△PEF的周长．
​
5．我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．
(1)如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“”，“