高中数学常用解题方法：二、换元法

二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。一、典例分析例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5   （ ①式） ，设S＝x＋y，求＋的值。【分析】 由S＝x＋y联想到cosα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设代入①式求S和S的值。此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2α＝的有界性而求，即解不等式：||≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。【另解】 由S＝x＋y，设x＝＋t，y＝－t，t∈[－，]， 则xy＝±代入①式得：4S±5=5，  移项平方整理得  100t+39S－160S＋100＝0 。∴  39S－160S＋100≤0  解得：≤S≤∴ ＋＝＋＝＝【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件S＝x＋y与三角公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元的思路，设x＝＋t、y＝－t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x、y时，可以设x＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x＝a＋b，y＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5  ，求得a∈[0,]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)＝2(a＋b)＝＋a∈[,]，再求＋的值。 例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。（96年全国理）【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos。【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得 ,由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：
 解得：cosα＝，    即：cos＝。【另解】由A＋C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以＋＝－＝－2，设＝－＋m，＝－－m ，所以cosA＝，cosC＝，两式分别相加、相减得：cosA＋cosC＝2coscos＝cos＝，cosA－cosC＝－2sinsin＝－sin＝，即：sin＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入cos＝＝。【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋＝－2”分别进行均值换元，随后结合三角2coscos＝－[cos(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－cos(A-C)＝－(2cos－1)，整理得：4cos＋2cos－3＝0,解得：cos＝例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a的最大值和最小【解】 设sinx＋cosx＝t，则t∈[-,]，由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx·cosx得：sinx·cosx＝∴  f(x)＝g(t)＝－(t－2a)＋ （a>0），t∈[-,]，t＝-时，取最小值：－2a－2a－当2a≥时，t＝，取最大值：－2a＋2a－  ；当0<2a≤时，t＝2a，取最大值：  。    ∴  f(x)的最小值为－2a－2a－，最大值为。【注】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx·cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[-,]）与sinx＋cosx对应，否则将会出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与cosx的和、差、积等而求三角式的最大值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。例4. 设对所于有实数x，不等式xlog＋2x log＋log>0恒成立，求a的取值范围。（87年全国理）【分析】不等式中log、 log、log三项有何联系？进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。，解得   ∴ t<0即log<00<<1，解得0<a<1。【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设元，关键是发现已知不等式中log、 log、log三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。例5. 已知＝，且＋＝  (②式)，求的值。【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得：  ＋＝＝    即：＋＝设＝t，则t＋＝ ,   解得：t＝3或     ∴＝±或± 二、巩固训练1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。2.设f(x＋1)＝log(4－x)  （a>1），则f(x)的值域是_______________。3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。5.方程＝3的解是_______________。6.不等式log(2－1) ·log(2－2)〈2的解集是_______________。【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；6小题：设log(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2<y<1，所以x∈(log,log3)。