高中数学常用解题方法：十、综合法与分析法

十、综合法和分析法综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.分析法: 一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.综合法的证明步骤用符号表示:(已知) (结论)分析法的证明“若A成立,则B成立”的思路与步骤;要正(或为了证明)B成立,只需证明成立(是B成立的充分条件).要证成立,只需证明成立(是成立的充分条件).… ,要证成立,只需证明A成立(A是成立的充分条件)..A成立, B成立.分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。一、典例分析例1: 已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc例2: 已知:a,b,c三数成等比数列,且x,y分别为a,b和b,c的等差中项.求证: .证明: 依题意, :a,b,c三数成等比数列, ,,又由题设: ,,而.例3. 设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2． 所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证.例4 已知a,b是正整数,求证: .证明: 要证 成立，只需证成立，即证，即证也就是要证,即.该式显然成立,所以.二、巩固训练1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：3、若实数，求证：4、已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤    5、设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．【简解】1、证明：∵≥2bc,a＞0,∴≥2abc             ①同理 ≥2abc          ②≥2abc               ③因为a，b，c不全相等，所以≥2bc, ≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”号，从而①、②、③三式也不能全取“=”号∴∴3、证明：采用差值比较法：====∴∴4、分析一:用分析法证法一:(1)当ac+bd≤0时,显然成立证法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证分析三:用比较法证法三:∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2∴≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤5、 证明：(用分析法思路书写)    要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，    即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)，只需证a2-2ab+b2＞0成立，    即需证(a-b)2＞0成立。    而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。    (以下用综合法思路书写)    ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0    亦即a2-ab+b2＞ab    由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证.