高中数学常用解题方法：四、定义法

四、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。一、典例分析例1. 已知z＝1＋ｉ，  ① 设w＝z＋3－4，求w的三角形式；    ② 如果＝1－ｉ，求实数a、b的值。（94年全国理）【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。根据复数相等的定义，得：，解得。【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。例2. 已知f(x)＝－x＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求y＝logf(x)的定义域，判定在(,1)上的单调性。【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。【解】   解得：   ∴ f(x)＝－x＋x  解f(x)>0得：0<x<1【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求n、c的过程中，运用了待定系数法和换元法。例3. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。①    证明：AB’∥平面DBC’；②    假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理）【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。【解】 ① 连接B’C交BC’于O, 连接OD∵ A’B’C’—ABC是正三棱柱 ∴ 四边形B’BCC’是矩形  ∴ O是B’C中点，△AB’C中， D是AC中点    ∴ AB’∥OD    ∴   AB’∥平面DBC’②       作DH⊥BC于H，连接OH  ∴ DH⊥平面BC’C∵ AB’∥OD,  AB’⊥BC’   ∴ BC’⊥OD   ∴ BC’⊥OH  即∠DOH为所求二面角的平面角。设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°＝，BH＝，EH＝ ；    Rt△BOH中，OH＝BH×EH＝，  ∴  OH＝＝DH    ∴∠DOH＝45°，即二面角D—BC’—C的度数为45°。此题文科考生的第二问为：假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的 射影长。解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法如下：作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：B’E×EF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝。例4. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为的椭圆的下顶点的轨迹方程。【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准线距离为2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。【解】设A(x,y)、F(x,m)，由M(1,2)，则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：  ，消m得：（x－1）＋＝1，所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1。 二、巩固训练已知集合A中有2个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。A. 2≤n≤9     B. 7≤n≤9     C. 5≤n≤9    D. 5≤n≤7设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。A.  MP<OM<AT    B.  OM<MP<AT     C.  AT<<OM<MP    D.  OM<AT<MP复数z＝a＋2ｉ，z＝－2＋ｉ，如果|z|< |z|，则实数a的取值范围是_____。A. －1<a<1     B.  a>1     C.  a>0      D. a<－1或a>1椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距离为，那么P点到右焦点的距离为_____。A.  8     C.  7.5    C.     D.  3 奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(－)的值为_____。A.  T      B.  0     C.      D. 不能确定 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。【简解】1小题：利用并集定义，选B；2小题：利用三角函数线定义，作出图形，选B；3小题：利用复数模的定义得<，选A；4小题：利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；5小题：利用周期函数、奇函数的定义得到f(－)＝f()＝－f(－)，选B；6小题：利用线面角、面面角的定义，答案2。