高中数学人教A版2019必修第二册 平面向量数量积（原卷+解析）

这是一份高中数学人教A版2019必修第二册 平面向量数量积（原卷+解析），共14页。
向量的数乘与数量积 题型一 数量积的运算【1】 已知|a|＝2，|b|＝5.(1)若a∥b，求a·b；        (2)若a⊥b，求a·b；        (3)若a、b夹角为60°，求a·b.   【2】已知向量与不共线，且，，若，则_______.【3】（建系法）如图在中，，为中点，，，，则（　　）A．-15 B．-13 B．C．13 D．14  【4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________.【5】（基底法） 在三角形中，若为边的三等分点，则　  　．【6】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________. 【7】已知是的斜边上的高，在延长线上，，若的长为2，则______.【8】如图，在菱形ABCD中，E、F分别在BC、CD上. ，点M在线段EF上，且满，则　     　；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为　            　.  题型二、向量的夹角【9】已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.①求|b|；        ②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．   【10】已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【11】非零向量满足，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【12】设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.【13】已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是(    )A.     B.      C.      D.题型三、向量的模长【14】若向量与的夹角为60°，，，则（    ）A．2 B．4 C．6 D．12【15】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________. 【16】已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为    A.       B.       C.7       D.8【17】（多选）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（    ）A． B．2 C． D．5 【18】已知平面向量，则的最大值（    ）A． B． C． D．【19】已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________.题型四、向量的投影【20】已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（    ）A．3 B．-3 C．- D．【21】已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（    ）A.       B.       C.       D.【22】已知，在方向上的投影为，在方向上的投影为，则与的夹角为_____.【23】设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（    ）A.－       B.－       C.       D.【24】在中,则在方向上的投影为（    ）．A．4       B．3       C．-4       D．5
解析题型一 数量积的运算【1】 已知|a|＝2，|b|＝5.(1)若a∥b，求a·b；        (2)若a⊥b，求a·b；        (3)若a、b夹角为60°，求a·b.【解析】(1)当a∥b时，若a、b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a|·|b|cos0°＝10；若a、b反向，则它们的夹角为180°.所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝－10.(2)当a⊥b时，夹角为90°，所以a·b＝|a|·|b|·cos90°＝0.(3)当a、b夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos60°＝5.【2】已知向量与不共线，且，，若，则_______.【答案】【解析】由得由得，所以则【3】（建系法）如图在中，，为中点，，，，则（　　）A．-15 B．-13 C．13 D．14【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，又，，，则，即，即，则，则，，则；故答案为：C．【4】已知在中，，，其外接圆的圆心为，则的值为________.【答案】8【解析】过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，可得D，E为AB，AC的中点，则＝＝×（25﹣9）＝8．【5】（基底法） 在三角形中，若为边的三等分点，则　  　．【解析】 若，则，即有0，．为边的三等分点，则．【6】已知向量与的夹角为120°，且，，若，且，则实数的值为__________.【答案】【解析】∵，∴，∴ 【7】已知是的斜边上的高，在延长线上，，若的长为2，则______.【答案】4【解析】由题意，是的斜边上的高，所以，可得，因为因为，所以，所以.【8】如图，在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点. ，点M在线段EF上，且满，则　     　；若点N为线段BD上一动点，则 的取值范围为　            　.【答案】；【解析】由题意得，， 所以，分别是以，的一个三等分点，，，设，则，又，所以，解得，所以；设，，，，所以，，所以，因为，，所以，，  题型二、向量的夹角【9】已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.①求|b|；        ②当a·b＝时，求向量a与b的夹角θ的值．【解析】①因为(a－b)·(a＋b)＝，即a2－b2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.②因为cos  θ＝＝，又0°≤θ≤180°，故θ＝45°. 【10】已知，是单位向量，，，若，则，的夹角的余弦值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，，即，所以.故选：D.【11】非零向量满足，则与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得：，即，解得，因此，，而，解得，所以与的夹角为.故选：B【12】设和是两个单位向量，其夹角是，求向量与的夹角.【答案】【解析】∵且与的夹角是，∴，，设与的夹角为θ，则又，∴，故与的夹角为.【13】已知非零向量满足有实根，则的夹角的取值范围是(    )A.     B.      C.      D.【答案】B【解析】由题意知：，即，又，得，∴，∴.题型三、向量的模长【14】若向量与的夹角为60°，，，则（    ）A．2 B．4 C．6 D．12【答案】C【解析】因为向量与的夹角为60°，，，所以，即，  所以，解得或（舍），故选：C【15】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝________.【解析】因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，所以||＝2. 【16】已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为    A.       B.       C.7       D.8【答案】A【解析】根据条件：；．【17】（多选）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（    ）A． B．2 C． D．5【答案】BD，因为平面向量，，两两的夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两的夹角为或，当夹角为时，，，，，当夹角为时，，，，，所以或 【18】已知平面向量，则的最大值（    ）A． B． C． D．（3），所以，是向量和的夹角，所以，当时，.故选：A【19】已知，对，恒有，且点满足N为OA的中点，则的值为__________，的值为__________.【答案】        【解析】对，恒有，如示意图：可得，所以则 题型四、向量的投影【20】已知向量，满足，且，则在方向上的投影为（    ）A．3 B．-3 C．- D．【答案】B【解析】由,得,,于是,因此在方向上的投影为.故选：B 【21】已知向量，满足且，则向量在向量方向的投影为（    ）A.       B.       C.       D.【答案】B【解析】设向量与向量的夹角为，则向量在向量方向的投影为，因为，，，所以，即，.【22】已知，在方向上的投影为，在方向上的投影为，则与的夹角为_____.【答案】120°【解析】∵∴ 即∴∴.∵，∴.【23】设单位向量、的夹角为，，，则在方向上的投影为（    ）A.－       B.－       C.       D.【答案】A【解析】依题意得，，，因此在方向上的投影为，故选：A.【24】在中,则在方向上的投影为（    ）．A．4       B．3       C．-4       D．5【答案】C【解析】对等式两边平方得，，整理得，，则，，设向量与的夹角为，所以，在方向上的投影为，