2020届云南省昆明市第一中学高三第五次检测数学（理）试题 PDF版

2020届昆一中高三联考卷第五期联考

理科数学参考答案及评分标准

命题、审题组教师   杨昆华 张宇甜 顾先成 李春宣 王海泉 莫利琴 蔺书琴 张远雄 崔锦 杨耕耘

一、选择题 

1. 解析：因为，所以选A.
2. 解析：因为集合，，则，所以集合可能的情况有，，，，共有4个.选D.
3. 解析：记每天走的里程数为，易知是以为公比的等比数列，其前项和，则，解得，所以.选C.
4. 解析：该几何体是由一个底面半径为，高为的半圆锥，和一个底面为等腰直角三角形，高为的三棱锥组成，所以该几何体的体积为：，选B．
5. 解析：画出可行域如下，可知当直线经过点或者时取得最大值，选B.
6. 解析：发言的3人来自3家不同企业的概率为，选D．
7. 解析：对于A：中，的等号不成立，A错；当时也成立，B错；当，时也成立，又原命题与逆否命题真假性一致，所以D错；选C.
8. 解析：时，；

时，；

时，；

……

时，，所以输出42，选B.

9. 解析：因为，所以，

又因为，所以，

所以，由得：，

所以，所以，选A． 

10. 解析：以为原点，以，所在的直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，,由题意可设,由可得，，所以.选.
11. 解析： 设的中点为，连结，，易知平面，所以，

   又，所以平面，所以，，所以，

   因此，以，，为同一顶点出发的正方体的八个顶点在球的表面上，

   所以，所以球的表面积为，选C．

12. 解析：，因为（），

所以函数的图象与函数图象有两个不同的交点，所以，选D.

二、填空题

13. 解析：．
14. 解析：因为，所以，

所以，所以函数的最大值为.

15. 解析：因为，所以，

从而，，…，，

累加可得，所以，

，因为在递减，在递增

当时，，当时，，所以的最小值为.

16. 解析：双曲线的两个焦点分别为（），（），则这两点刚好是两圆的圆心，由几何性质知，,,所以,所以最大值为.

三、解答题

（一）必考题

17. 解：（1）在△中，由，得

由得，，

，，. ………6分

（2）因为，所以，，，

由得，因为△的面积为，

，得，.    ………12分

18. 解：（1）由频率分布直方图，优质花苗的频率为，即概率为．

设所抽取的花苗为优质花苗的株数为，则，于是

；；

；．

其分布列为：

所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望．………6分

（2）频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本中优质花苗的株数为60株，列联表如下表所示：

可得．

所以，有99%的把握认为优质花苗与培育方法有关系．………12分

19. （1）证明：因为为直三棱柱，

所以∥，且，又因为四边形为平行四边形，

所以∥，且，所以∥，且，

所以四边形为平行四边形，所以，，，四点共面；

因为，又平面，

所以，所以四边形正方形，连接交于，

所以，在中，，，

由余弦定理得，

所以，所以，所以，又，

所以平面，所以，

又因为，所以平面；

所以.                                  ………6分

（2）解：由（1）知，可如图建立直角坐标系，则， ，

，，，  

，

设平面的法向量为，由 即，取

设平面的法向量为 由 得,取，

由得，因为，所以

此时，，所以四边形正方形，

因为，，又因为，所以平面，

所以与平面所成角为.                            .………12分

20. 解：(1) 设，由条件可知，即，

所以曲线 .………4分

(2)当所在直线斜率不存在时，其方程为：， 此时，

当所在直线斜率存在时，设其方程为：， 设，，

到直线的距离，即，所以.

直线与椭圆联立，得，所以，

所以，，令，

， 因为，所以，

所以，所以.………12分

21.   解：（1）因为，且，所以，

构造函数，则，又，

若，则，则在上单调递增，则当时，矛盾，舍去；

若，则，则当时，，

则在上单调递增，则矛盾，舍去；

若，则，则当时，，

则在上单调递减，则矛盾，舍去；

若，则当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

故，则，满足题意；

综上所述，.                            ………6分 

（2）由（1）可知，则，

构造函数，则，

又在上单调递增，且，

故当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

又，，又，

结合零点存在性定理知，在区间存在唯一实数，使得，

当时，，当时，，当时，，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故存在唯一极大值点，因为，所以，

故，

因为，所以.                ………12分

（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题记分。

22. 解: （1）由直线的参数方程可知，直线的倾斜角为；将圆的极坐标方程

化简得，两边乘得，，将

，，代入并化简整理可得圆的直角坐标方程为.                                          ………5分

（2） 设， 则

=，由可得，

，即.                                  ………10分

23. 解: （1） 当时, ， 即

当时， 由解得， 所以 ；

当时， 不等式恒成立， 所以 ；

当时，由解得；所以 .

综上，不等式的解集为.        ………5分

（2） 因为，

所以， , 解得.         ………10分