2023年山东省济宁市邹城市中考数学一模试卷（含解析）

2023年山东省济宁市邹城市中考数学一模试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A. 圆 B. 等边三角形 C. 平行四边形 D. 等腰直角三角形

2.  长度单位纳米米，一种病毒直径为纳米，用科学记数法表示该病毒直径是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图是某几何体的三视图，则这个几何体是(    )
 

A. 正方体 B. 圆柱 C. 球 D. 圆锥

5.  已知与互为相反数，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在中，点是的中点，点、分别在线段及其延长线上，且下列条件使四边形为菱形的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象写出时，的取值范围(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图所示，为了测量垂直于水平地面的某建筑物的高度，测量人员在该建筑物附近处，测得建筑物顶端处的仰角为，随后沿直线向前走了米后到达处，在处测得处的仰角为，则建筑物的高度约为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9.  某钢厂今年月份生产某种钢吨，月份生产这种钢吨，设、月份两个月平均每月增长的百分率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，点在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边、分别交、于点、若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  函数中自变量的取值范围是______．

12.  分解因式：______．

13.  如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 ______ ．

14.  “红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是______ ．

15.  如图，在，，，斜边，是的中点，以为圆心，线段的长为半径画圆心角为的扇形，点在弧上，则图中阴影部分的面积为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

17.  本小题分
某中学为了了解本校初三学生体育成绩，从本校初三名学生中随机抽取了部分学生进行测试，将测试成绩满分分，成绩均取整数进行统计，绘制成如下图表部分：

请根据上面的图表，解答下列各题：
______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
指出这组数据的“中位数”落在哪一组不要求说明理由；
若成绩分以上的学生为优秀，请估计该校初三学生体育成绩优秀的人数．

18.  本小题分
如图，直线分别交轴，轴于点，点，与函数的图象交于点在第二象限且为的中点．
求出的值；
连接，求的面积．

19.  本小题分
如图，直线交于、两点，是直径，平分交于，过作于．
求证：是的切线；
若直径，，求的长．

20.  本小题分
工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利元；按标价的八五折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获利润相等．
该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？
若每件工艺品按中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品件．若每件工艺品降价元，则每天可多售出该工艺品件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元？

21.  本小题分
阅读与理解：如图，是一张长宽的矩形桌球台，并且球面的摩擦力很小，现有一小球从点点在边上出发沿射向边的点，然后分别反弹到，和上设，如果，则小球仍能回到点．
画图与计算：如果小球分别处于图，图中的点，从点射向边的点，分别反弹到边上的点和边上的点，然后回到点停止．

试利用正方形网格在图，图中分别画出小球所经过的路线图；
如果图，图中的矩形长与宽分别为和，计算图，图中小球经过的路线长度；
探索与发现：
如果点是的中点，且小球经过反弹后回到出发点，请判断小球运动路线构成什么图形？为什么？
不论小球处于边的什么位置顶点除外，如果小球仍能经过反弹回到出发点，小球所经过的路线长度是否为定值？如果为定值，请给予证明．

22.  本小题分
如图，已知抛物线的顶点为，直线交抛物线于点--，，交轴于点．
求点的坐标；
求直线的解析式；
设点是抛物线在轴下方，顶点左方一段上的动点，连接，过以为顶角顶点，为腰的等腰三角形的另一顶点作轴的垂线交直线于点，连接，设的面积为，求与之间的函数关系式；
在上述动点中，是否存在使的点？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：纳米米米，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式，错误；
C、原式，错误；
D、原式，正确；
故选：．
A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式约分得到结果，即可做出判断；
D、原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，以及分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选B．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力．
 

5.【答案】 

【解析】解：与互为相反数，
，
即，
所以，，
解得，，
所以．
故选：．
根据互为相反数的两个数的和等于列方程，再根据非负数的性质列方程求出、，然后代入代数式进行计算即可得解．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

6.【答案】 

【解析】解：条件是，
理由是：，点是的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
选项A、、的条件都不能推出四边形是菱形，
即只有选项D正确，选项A、、都错误；
故选：．
根据等腰三角形的性质和已知求出，，先根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，再根据菱形的判定推出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能熟记菱形的判定定理是解此题的关键，注意：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
 

7.【答案】 

【解析】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为，，
当有时，有．
故选：．
关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断时，的取值范围．
本题考查了二次函数与不等式组，掌握借助图象求不等式的解是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设米，
在中，，
米，
则米，
在中，，
，即，
解得：，
即建筑物的高度约为米，
故选：．
设米，由得、，根据可得关于的方程，解之可得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．
 

9.【答案】 

【解析】解：设、月份两个月平均每月增长的百分率为，
由题意得：，
故选：．
首先设平均每月增长的百分率为，根据题意可得月份的钢产量为吨，月份的钢产量为吨，然后即可列出相应的方程．
此题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：过作于点，于点，

四边形是正方形，
，
又，
，
，
三角形是直角三角形，
，
，
是的角平分线，，
，四边形是正方形，
在和中，
，
≌
，
四边形的面积等于正方形的面积，
正方形的边长为，
，
，
，
，
正方形的面积，
四边形的面积，
故选：．
过作于点，于点，≌，利用四边形的面积等于正方形的面积求解．
本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出≌．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式，以及分母不为可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式，以及分母不为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
观察原式，找到公因式，提出公因式后发现是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．
本题考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法完全平方公式要求灵活运用各种方法进行因式分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作，
由已知可得：，
，
，，
，
．
故答案为：．
首先过点作，又由已知，即可得，然后根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中他遇到两次红灯的结果数有种，
他遇到两次红灯的概率是，
故答案为：．
先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，作，．

，，点为的中点，，
，四边形是正方形，，
则扇形的面积是：，
，，点为的中点，
平分，
，，
，
，
，
则在和中，
，
≌，
．
则阴影部分的面积是：，
故答案为：．
连接，作，，证明≌，则，求得扇形的面积，则阴影部分的面积即可求得．
本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明≌，得到是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式，
解方程得，或，
当时，，无意义；
当时，原式． 

【解析】先算括号里面的，再算除法，最后求出的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
 

17.【答案】； 

【解析】解：，
；
故填；．

如图所示；


抽取的部分学生的总人数为人，
依题意得这组数据的“中位数”落在第组；

估计该校初三学生体育成绩优秀的人数为
人．
首先用即可得到抽取的部分学生的总人数，然后用除以总人数即可，用总人数乘以即可求出；
根据表格的信息就可以补全频数分布直方图；
由于知道抽取的部分学生的总人数，根据中位数的定义和表格信息就可以得到这组数据的“中位数”落在哪一组；
首先根据表格得到成绩分以上的学生人数，然后除以总人数即得到抽取的部分学生的优秀率，再乘以即可求出该校初三学生体育成绩优秀的人数．
本题主要考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数的求法：给定个数据，按从小到大排序，如果为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．
 

18.【答案】解：过点作轴于点，如图所示，
在中，令，则，令，则，
，，
，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
代入中，得；
，，
，，
． 

【解析】在直线中求出点和点的坐标，根据中点的性质，可得点坐标；
根据点和点的坐标，利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，全等三角形的判定和性质，涉及到函数图象上的点，面积问题，比较基础，解题的关键是能根据中点得到点的坐标．
 

19.【答案】证明：连接，如图，
平分交于，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：是直径，
，
而，
∽，
，即，
，
在中，，，
． 

【解析】连接，如图，由平分交于得到，加上，则，于是可判断，则利用可得，然后根据切线的判定定理可判断是的切线；
先根据圆周角定理得到，再证明∽，利用相似比计算出，然后在中利用勾股定理可计算出．
本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．
 

20.【答案】解：设该工艺品每件的进价是元，标价是元．
依题意得方程组：

解得：．
故该工艺品每件的进价是元，标价是元．

设每件应降价元出售，每天获得的利润为元．
依题意可得与的函数关系式：，
，
配方得：，
当时，．
故每件应降价元出售，每天获得的利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据“每件获利元”可得出：每件标价每件进价元；根据“标价的八五折销售该工艺品件与将标价降低元销售该工艺品件所获利润相等”可得出等量关系：每件标价的八五折每件进价每件标价元每件进价．
可根据题意列出关于总利润和每天利润的二次函数，以此求出问题．
题要根据标价、进价和利润的关系，找出等量关系．
题主要考查抛物线的性质．
 

21.【答案】解：如图所示，即为所求；

解：图：由题意得，，
小球经过的路线长为；
图：由题意得，，
小球经过的路线长为；
解：小球运动路线构成菱形，理由如下：
如图所示，是的中点，
，
四边形是矩形，
，
又，
≌，
，
，，
，
，
同理，
，
，
同理可证，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；

解：小球所经过的路线长度为定值，证明如下：
如图所示，设，，，，则，
四边形是平行四边形，
，
又，，
≌，
，
，
，，
∽，
，即，
，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
，
四边形是平行四边形，
，
当矩形固定时，和的值都固定，则不论小球处于边的什么位置顶点除外，如果小球仍能经过反弹回到出发点，小球所经过的路线长度是定值． 

【解析】根据题意作图即可；
利用勾股定理求解即可；
先证明≌，得到，再证明，得到，同理可证，则四边形是平行四边形，又，即可证明四边形是菱形；
如图所示，设，，，，则，先证明≌，推出，证明∽，利用相似三角形的性质推出，设，则，，由勾股定理得，，从而得到，当矩形固定时，和的值都固定，则不论小球处于边的什么位置顶点除外，如果小球仍能经过反弹回到出发点，小球所经过的路线长度是定值．
本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

22.【答案】解：把--，代入中得，
，
抛物线解析式为，
顶点的坐标为；
设直线的解析式为，
把--，，两点代入得：，
解得，
直线的解析式为；
在中，令，解得，
点坐标为；
设，
以、为腰的等腰三角形的另一顶点在轴上，
的坐标是，
轴，
，
，
．
；
当，时，则，
，此时，即方程无解，
此种情形不成立；
当，时，则，
，即，
解得或舍去，

存在动点，使，此时点坐标为． 

【解析】把点坐标代入二次函数解析式中用待定系数法即可求出二次函数的解析式，进而求出顶点的坐标即可；
把、坐标代入直线解析式用待定系数法求出直线的解析式；
设点，则的坐标是，可以求出的坐标．得到的长度，因而的面积就可以用表示出来，得到与的函数解析式．
使，则把代入函数的解析式，就可以得到关于的方程，解方程求解即可．
本题主要考查了二次函数综合，掌握待定系数法求函数的解析式，以及坐标系中三角形的面积的求法，求线段的长的问题一般要转化为求函数图象上的点的坐标是解题的关键．