福建省南平市2023届高三第三次质量检测数学试题（含答案）

福建省南平市2023届高三第三次质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知，则（    ）

A． B．1 C． D．

3．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比-热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（    ）.

A． B． C． D．

5．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则（    ）

A．的周期为

B．在上单调递增

C．的图象关于点对称

D．的图象关于直线对称

6．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产规格的芯片．现有25块该规格的芯片，其中来自甲、乙、丙的芯片数量分别为5块、10块、10块．若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.9，0.8，0.7，则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片为优质品的概率是（    ）

A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48

7．分别是函数和图象上的点，若与x轴平行，则的最小值是（    ）

A． B．

C． D．

8．已知双曲线的左顶点为A，若E上存在点P，使得P与A关于直线对称，则E的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

二、多选题

9．若，则（    ）

A． B． C． D．

10．在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（    ）

A．平面

B．平面

C．平面平面

D．点E到平面的距离为

11．已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（    ）

A．的最大值为

B．的面积最小值为2

C．当取到最大值时，直线AP与C相切

D．当取到最大值时，

12．已知函数满足，，则（    ）

A．

B．

C．若方程有5个解，则

D．若函数（且）有三个零点，则

三、填空题

13．在的展开式中的常数项为_______.

14．对于任意实数，直线恒过定点A，且点，则直线的一个方向向量为________．

15．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．

16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．

四、解答题

17．设为数列的前n项积．已知．

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

18．已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

(1)求A的大小；

(2)设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．

19．如图，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，与平面所成角为．

(1)证明：；

(2)点D在的延长线上，且，M是的中点，求平面与平面夹角的余弦值．

20．五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：

（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．

(1)根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；

(2)规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．

附：①参考数据：，，，．

②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．

21．已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为F，C的离心率为，且C上的点B到F的距离的最大值和最小值的积为1．过点F的直线（与x轴不重合）交C于P，Q两点，直线，分别交过点F且垂直x轴的直线于M，N两点．

(1)求C的方程；

(2)记，的面积分别为，，试探究：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

22．已知函数，．

(1)讨论的极值；

(2)若的极小值为3，且，，，成立，求的取值范围．

参考答案：

1．C

2．B

3．C

4．C

5．D

6．A

7．B

8．A

9．BD

10．ACD

11．AC

12．BCD

13．

14．（答案不唯一）

15．

16．

17．(1)；

(2).

18．(1)；

(2).

19．(1)证明见解析

(2)

20．(1)；

(2)分布列见解析，期望为2.

21．(1)

(2)是，

22．(1)答案见解析；

(2).