2023届高考数学二轮复习微专题5三角形中的范围最值问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题5三角形中的范围最值问题学案，共10页。


例题：(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，且BD＝1，求4a＋c的最小值．
变式1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(2a＋c，b)，n＝(csB，csC)，且m，n垂直．
(1)求角B的大小；
(2)若∠ABC的平分线BD交AC于点D，且BD＝1，设BC＝x，BA＝y，试确定y关于x的函数关系式，并求边AC的取值范围．
变式2如图，某水域有两条直线型岸边l1和l2成定角120°，该水域中位于该角平分线上且与顶点A相距1 km的D处有一固定桩，现某渔民准备经过该桩安装一直线型的隔离网BC(B，C分别在l1和l2上)围出三角形ABC的养殖区，且AB和AC的长都不超过5 km，设AB＝x km，AC＝y km，
(1)将y表示成x的函数，并求其定义域；
(2)该渔民至少可以围出多少平方千米的养殖区？
串讲1在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b，△ABC周长为7，求BC边上的中线AD的最小值．
串讲2在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝eq \f(π,2)，OP＝2eq \r(2)，点M在线段PQ上，点N在线段MQ上，且∠MON＝eq \f(π,6).
(1)设∠POM＝α，试用α表示OM，ON，并写出α的范围；
(2)当α取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．
(2018·全国大联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(c＋a，b)，n＝(c－a，b＋c)，且a＝3，m⊥n.
(1)求△ABC面积的最大值；
(2)求b＋c的取值范围．
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且4S＝eq \r(3)(a2＋c2－b2)．
(1)求∠B的大小；
(2)设向量m＝(sin2A，3csA)，n＝(3，－2csA)，求m·n的取值范围．
答案：(1)eq \f(π,3)；(2)(－6，3eq \r(2)－3]．
解析：(1)由题意，有4×eq \f(1,2)acsinB＝eq \r(3)(a2＋c2－b2)，2分
则sinB＝eq \r(3)×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，所以sinB＝eq \r(3)csB.4分
因为sinB≠0，所以csB≠0，所以tanB＝eq \r(3).
又0(2)由向量m＝(sin2A，3csA)，n＝(3，－2csA)，得
m·n＝3sin2A－6cs2A＝3sin2A－3cs2A－3＝3eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,4)))－3.8分
由(1)知B＝eq \f(π,3)，所以A＋C＝eq \f(2π,3)，所以0所以2A－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(13π,12))).10分
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2A－\f(π,4)))∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1)).12分
微专题5
例题1
答案：9.
解法1由S△ABD＋S△CBD＝S△ABC，得eq \f(1,2)c·1·sin60°＋eq \f(1,2)a·1·sin60°＝eq \f(1,2)acsin120°，所以，a＋c＝ac.即eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)＝1.
所以4a＋c＝(4a＋c)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,c))＝5＋eq \f(c,a)＋eq \f(4a,c)≥5＋2eq \r(\f(c,a)·\f(4a,c))＝9.当且仅当c＝2a即a＝eq \f(3,2)，c＝3取等号，所以4a＋c的最小值为9.
解法2如图作DE∥AB交BC点E，所以∠EDB＝∠DBA＝∠DBE＝60°，因为BD＝1，所以△BDE是边长为1的正三角形，eq \f(CE,CB)＝eq \f(DE,AB)，即eq \f(a－1,a)＝eq \f(1,c)，
变形得a＋c＝ac，变形得eq \f(4,4a)＋eq \f(1,c)＝1.
于是1＝eq \f(4,4a)＋eq \f(1,c)≥eq \f(（2＋1）2,4a＋c)，解得4a＋c≥9，当且仅当4a＝2c，当且仅当c＝2a即a＝eq \f(3,2)，c＝3时取等号，所以4a＋c的最小值为9.
解法3设∠BDC＝θ，易得60°<θ<120°，在△BDC中，eq \f(BC,sinθ)＝eq \f(BD,sinC)，因为BD＝1，sinC＝
sin(θ＋60°)，所以a＝
eq \f(sinθ,sin（θ＋60°）)，同理
c＝eq \f(sinθ,sin（θ－60°）).所以4a＋c＝eq \f(4sinθ,sin（θ＋60°）)＋eq \f(sinθ,sin（θ－60°）)＝eq \f(4sinθ,\f(1,2)sinθ＋\f(\r(3),2)csθ)＋
eq \f(sinθ,\f(1,2)sinθ－\f(\r(3),2)csθ)＝eq \f(8,1＋\f(\r(3),tanθ))＋eq \f(2,1－\f(\r(3),tanθ))≥
eq \f(（2\r(2)＋\r(2)）2,（1＋\f(\r(3),tanθ)）＋（1－\f(\r(3),tanθ)）)＝9.
当且仅当2eq \r(2)(1－eq \f(\r(3),tanθ))＝
eq \r(2)(1＋eq \f(\r(3),tanθ))时取等号，即tanθ＝3eq \r(3)时4a＋c取最小值9.
解法4以B为坐标原点，BC为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则A落在第二象限，设直线AC的方程为
y－eq \f(\r(3),2)＝k(x－eq \f(1,2))，其中－eq \r(3)0，即a＝eq \f(k－\r(3),2k)，由于直线BA的方程为y＝－eq \r(3)x代入y－eq \f(\r(3),2)＝k(x－eq \f(1,2))，解得xA＝eq \f(k－\r(3),2（k＋\r(3)）)<0，所以c＝－2xA＝eq \f(\r(3)－k,（k＋\r(3)）)>0，则4a＋c＝eq \f(2（k－\r(3)）,k)＋eq \f(\r(3)－k,\r(3)＋k)＝1＋2eq \r(3)(eq \f(1,－k)＋eq \f(1,k＋\r(3)))≥1＋2eq \r(3)×eq \f(（1＋1）2,－k＋k＋\r(3))＝9.
当且仅当－k·1＝(k＋eq \r(3))·1，即k＝－eq \f(\r(3),2)时取等号，所以4a＋c的最小值为9.
变式联想
变式1
答案：(1)eq \f(2π,3)；(2)[2eq \r(3)，＋∞)．
解析：(1)因为m⊥n，所以(2a＋c)csB＋bcsC＝0，在△ABC中，由正弦定理得(4R·sinA＋2R·sinC)csB＋2R·sinBcsC＝0，所以(2sinA＋sinC)csB＋sinBcsC＝0，即2sinAcsB＋sin(B＋C)＝0，即sinA(2csB＋1)＝0，因为A，B∈(0，π)，所以sinA≠0，解得csB＝－eq \f(1,2)，B＝eq \f(2π,3).
(2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，S△ABC＝eq \f(1,2)xysineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),4)xy，S△ABD＝eq \f(1,2)ysineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),4)y，S△BCD＝eq \f(1,2)xsineq \f(π,3)＝
eq \f(\r(3),4)x，所以xy＝x＋y，
即y＝eq \f(x,x－1)，x∈(1，＋∞)．
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝x2＋y2－2xycseq \f(2π,3)＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝(x＋y－eq \f(1,2))2－eq \f(1,4)，因为x＋y＝xy≤eq \f(（x＋y）2,4)，x>0，y>0，所以x＋y≥4，所以AC2≥(4－eq \f(1,2))2－eq \f(1,4)，所以AC≥2eq \r(3).所以AC的取值范围是[2eq \r(3)，＋∞)．
变式2
答案：(1)y＝eq \f(x,x－1)，
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(5,4)≤x≤5))；(2)eq \r(3).
解析：(1)由S△ABC＝S△ABD＋
S△ACD得，eq \f(1,2)xsin60°＋
eq \f(1,2)ysin60°＝eq \f(1,2)xysin120°，所以x＋y＝xy，所以y＝eq \f(x,x－1)，又0eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|\f(5,4)≤x≤5)).
(2)设△ABC的面积为S，则结合(1)得
S＝eq \f(1,2)xysinA＝eq \f(1,2)x·eq \f(x,x－1)·sin120°＝eq \f(\r(3)x2,4（x－1）)(eq \f(5,4)≤x≤5)，因为eq \f(x2,x－1)＝(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋2≥4，当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时取等号．
故当x＝y＝2时，面积S取得最小值eq \r(3)平方千米．
答：该渔民至少可以围出eq \r(3)平方千米的养殖区．
串讲激活
串讲1
答案：eq \f(7\r(2),6).
解析：设∠BDA＝θ，AD＝x，在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cs∠BDA，
可得eq \f(15a2,4)－28a＋49＝x2－xacsθ，①
在△ACD中，由余弦定理得eq \f(3a2,4)＝x2＋xacsθ，②，由①＋②可得
2x2＝eq \f(9,2)a2－28a＋49＝
eq \f(9,2)(a－eq \f(28,9))2＋eq \f(49,9)≥eq \f(49,9)，所以x≥eq \f(7\r(2),6)，当且仅当a＝eq \f(28,9)时等号成立，所以中线AD的最小值为eq \f(7\r(2),6).
串讲2
答案：(1)OM＝eq \f(2,sin（α＋\f(π,4)）)，ON＝eq \f(2,sin（α＋\f(5π,12)）)，0≤α≤eq \f(π,3)；
(2)α＝eq \f(π,6)，8－4eq \r(3).
解析：(1)在△OMP中，由正弦定理，得eq \f(OM,sin∠OPM)＝eq \f(OP,sin∠OMP)，即OM＝eq \f(2,sin（α＋\f(π,4)）)，同理ON＝eq \f(2,sin（α＋\f(5π,12)）)，0≤α≤eq \f(π,3).
(2)S△OMN＝eq \f(1,2)OM·
ONsin∠MON＝
eq \f(1,sin（α＋\f(π,4)）×sin（α＋\f(5π,12)）)＝
eq \f(1,sin（α＋\f(π,4)）×sin（α＋\f(π,4)＋\f(π,6)）)＝
eq \f(1,\f(\r(3),2)sin2（α＋\f(π,4)）＋\f(1,2)sin（α＋\f(π,4)）cs（α＋\f(π,4)）)
＝eq \f(1,\f(\r(3),4)[1－cs（2α＋\f(π,2)）]＋\f(1,4)sin（2α＋\f(π,2)）)＝eq \f(1,\f(\r(3),4)＋\f(\r(3),4)sin2α＋\f(1,4)cs2α)＝eq \f(1,\f(1,2)sin（2α＋\f(π,6)）＋\f(\r(3),4))，
因为0≤α≤eq \f(π,3)，eq \f(π,6)≤2α＋eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6)，所以当α＝eq \f(π,6)时，sin(2α＋eq \f(π,6))的最大值为1，此时△OMN的面积最小．即α＝eq \f(π,6)时，△OMN的面积的最小值为8－4eq \r(3).
新题在线
答案：(1)eq \f(3\r(3),4)；
(2)(3，2eq \r(3)]．
解析：(1)因为m⊥n，所以(c＋a)(c－a)＋b(b＋c)＝0，即c2－a2＋b2＋bc＝0，所以
csA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，又A是三角形的内角，所以A＝120°，由c2－a2＋b2＋bc＝0，且a＝3，所以b2＋c2＝9－bc≥2bc，解得bc≤3.所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsinA≤eq \f(1,2)×3·sin120°＝eq \f(3\r(3),4).
(2)由(1)可知c2＋b2＋bc＝9，(b＋c)2－bc＝9，即(b＋c)2－9＝bc≤(eq \f(b＋c,2))2，解得b＋c≤2eq \r(3)，又b＋c>a＝3，所以b＋c的取值范围是(3，2eq \r(3)]．
三角形中的取值范围和最值问题一直是高考的热点和难点，常以小的压轴题出现，解决此类问题要善于利用三角形的性质或者巧妙地引入参数．本专题主要对以三角形为载体的最值问题进行探究，并在解题过程中感受三角、解集、函数、不等式等知识的整体联系.