2023届高考数学二轮复习微专题7平面向量中的求值问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题7平面向量中的求值问题学案，共9页。

例题：如图，平面内的两个单位向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，它们的夹角是60°，向量eq \(OC,\s\up6(→))与向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的夹角都为30°，且|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，若eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，求λ＋μ的值．
变式1如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，M∈AH，AM＝eq \f(1,3)AH，若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＋y的值为________________．
变式2在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分线与AB边上的中线交于点O，若eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，求x＋y的值．
串讲1(2018·天津改编)如图已知eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(NA,\s\up6(→))，若eq \(BC,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(ON,\s\up6(→))，则xy的值为__________．
串讲2如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若eq \(AD,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，求x，y的值．
(2018·全国Ⅰ卷改编)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则xy的值为________________．
如图，在平行四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，M为边
CD的中点，P，Q分别是边AB，CD上的动点．
(1)用a，b表示向量eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(BD,\s\up6(→))；
(2)若eq \(PQ,\s\up6(→))＝xeq \(AM,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))，求x＋y的值．
答案：(1)eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b.eq \(BD,\s\up6(→))＝－a＋b；(2)1.
解析：(1)由于M为边CD的中点，则eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，4分
由于eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b.eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝－a＋b.6分
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))；eq \(BD,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，由于eq \(PQ,\s\up6(→))＝xeq \(AM,\s\up6(→))＋yeq \(BD,\s\up6(→))，
即eq \(PQ,\s\up6(→))＝x(eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋y(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝(eq \f(x,2)－y)eq \(AB,\s\up6(→))＋(x＋y)eq \(AD,\s\up6(→)).10分
设eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DQ,\s\up6(→))＝ueq \(DC,\s\up6(→))＝μeq \(AB,\s\up6(→))，则eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DQ,\s\up6(→))＝－λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋μeq \(AB,\s\up6(→))＝
(μ－λ)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－y))eq \(AB,\s\up6(→))＋(x＋y)eq \(AD,\s\up6(→)).由于eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))不共线，
因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－y＝μ－λ，,x＋y＝1，))所以x＋y＝1.14分
微专题7
例题1
答案：λ＋μ＝4.
解法1建立如图所示的直角坐标系xOy，则A(1，0)，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq \r(3))，因为eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，所以(3，eq \r(3))＝λ(1，0)＋μeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝λ＋\f(μ,2)，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))
解得λ＋μ＝4.
解法2连接AB交OC于D，由于eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是两个单位向量，它们的夹角是60°，且向量eq \(OC,\s\up6(→))与向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的夹角都为30°，则D为AB中点，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋
eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，且|eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，又|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，则eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OD,\s\up6(→))，
所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OD,\s\up6(→))＝4×
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，根据平面向量基本定理得λ＝μ＝2，所以λ＋μ＝4.
解法3连接AB交OC于D，因为eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))是两个单位向量，它们的夹角是60°，且向量eq \(OC,\s\up6(→))与向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))的夹角都为30°，则|eq \(OD,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(3),2)，又|eq \(OC,\s\up6(→))|＝2eq \r(3)，则eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OD,\s\up6(→))，由于D在AB上(即A，D，B共线)，记eq \(OD,\s\up6(→))＝λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋μ1eq \(OB,\s\up6(→))，则λ1＋μ1＝1，且eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OD,\s\up6(→))，所以eq \(OC,\s\up6(→))＝4eq \(OD,\s\up6(→))＝4λ1eq \(OA,\s\up6(→))＋4μ1eq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OC,\s\up6(→))＝
λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，根据平面向量基本定理得λ＝4λ1，μ＝4μ1，所以λ＋μ＝4λ1＋4μ1＝4(λ1＋μ1)＝4.
解法4在等式eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))两边同时乘以eq \(OC,\s\up6(→))得eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))，即12＝3λ＋3μ，解得λ＋μ＝4.(如作填空题可运用等和线的知识秒杀！)
变式联想
变式1
答案：eq \f(1,3).
解法1建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，
B(b，0)，H(0，0)，C(c，0)，
Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)a))，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,3)a))，eq \(AB,\s\up6(→))＝(b，－a)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(c，－a)，故由eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))可得－eq \f(1,3)a＝－xa＋y(－a)，即x＋y＝eq \f(1,3).
解法2设eq \(AH,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，因为H在BC上(即B，H，C共线)，所以λ＋μ＝1，
由于AM＝eq \f(1,3)AH，所以eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)μeq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，
根据平面向量基本定理得x＝eq \f(1,3)λ，y＝eq \f(1,3)μ，所以x＋y＝eq \f(1,3)λ＋eq \f(1,3)μ＝eq \f(1,3)(λ＋μ)＝eq \f(1,3).
(可运用等和线的知识秒杀！)
变式2
答案：eq \f(5,8).
解法1因为AO在∠BAC的平分线上，所以存在实数λ(λ≠0)使得eq \(AO,\s\up6(→))＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)))，
即eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)λeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)λeq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＝x，,\f(1,3)λ＝y，))①若AB边上的中线与AB交于点D，则eq \(AO,\s\up6(→))＝2xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，因为C，O，D三点共线，所以2x＋y＝1②，由①②得x＝eq \f(3,8)，y＝eq \f(1,4)，从而x＋y＝eq \f(5,8).
解法2如图，记AB中点为D，AO交BC于点E，取BE中点为F，连接DF，
因为D，F分别为AB，EB中点，所以eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AE,\s\up6(→))，由于AB＝2，AC＝3，AE为∠A的平分线，所以eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)×2eq \(EF,\s\up6(→))＝3eq \(EF,\s\up6(→))，又OE∥DF，所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(DF,\s\up6(→))，从而eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(AE,\s\up6(→))，即eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(5,8)eq \(AE,\s\up6(→))，又eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)eq \(EB,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(3,2)(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→)))，即eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(AC,\s\up6(→))，从而eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(5,8)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(3,8)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,8)eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AO,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，根据平面向量基本定理得x＝eq \f(3,8)，y＝eq \f(2,8)，所以x＋y＝eq \f(5,8).(也可运用几何特征得出eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \f(5,8)eq \(AE,\s\up6(→))，再借助等和线的知识得出结果！)
说明：平面向量线性表示背景下的求值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，解决此类问题的方向是向量关系数量化，方法是依据向量关系构建关于未知元的方程组来解决问题，主要途径有：1.向量的坐标形式；2.根据平面向量基本定理，利用向量的线性表示：3.数量积．快速解决此类问题的关键是对研究对象的合理表征(优选解题途径)，等和线知识在解决此类问题时，灵动快速．
串讲激活
串讲1
答案：－27.
解析：因为eq \(BM,\s\up6(→))＝2eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(NA,\s\up6(→))，所以eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝2(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))，eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝2(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(ON,\s\up6(→)))即3eq \(OM,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，3eq \(ON,\s\up6(→))＝2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，两式作差得eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→))＝3(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))，即eq \(BC,\s\up6(→))＝－3eq \(OM,\s\up6(→))＋3eq \(ON,\s\up6(→))，又eq \(BC,\s\up6(→))＝xeq \(OM,\s\up6(→))＋yeq \(ON,\s\up6(→))，所以x＝－3，y＝3，所以xy＝(－3)3＝－27.
串讲2
答案：x＝1＋eq \f(\r(3),2)，y＝eq \f(\r(3),2).
解法1过D作DH⊥AB，所以∠DHB＝90°；因为∠ABC＝45°，∠EBD＝90°，所以∠DBH＝45°；所以△ABC∽△HBD，又因为DE＝BC，所以eq \f(BH,AB)＝eq \f(BD,BC)＝eq \f(BD,DE)＝eq \f(\r(3),2)，所以BH＝DH＝eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(\r(3),2)AC，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))＋eq \(HD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BH,\s\up6(→)))＋eq \(HD,\s\up6(→))，故eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(\r(3),2)))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(\r(3),2)eq \(AC,\s\up6(→))；即x＝1＋eq \f(\r(3),2)，y＝eq \f(\r(3),2).
解法2以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，不妨设这两个三角形的斜边为2t(t＞0)，则AB＝AC＝eq \r(2)t，BE＝t，BD＝eq \r(3)t，
则eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \r(2)t，0)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)t)，Deq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(\r(2)t＋\r(3)t×\f(\r(2),2)，))
eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)t×\f(\r(2),2)))，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(\r(6),2)t，\f(\r(6),2)t))＝
xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)t，0＋y（0，\r(2)t))从而
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)＋\f(\r(6),2)))t＝x×\r(2)t，,\f(\r(6),2)t＝y×\r(2)t，))
所以x＝1＋eq \f(\r(3),2)，y＝eq \f(\r(3),2).
新题在线
答案：－eq \f(3,16).
解析：如图，因为AD为BC边上的
中线，即D为BC中点，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，又因为E为AD的中点，eq \(EA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，从而eq \(EB,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq \f(3,4)，y＝－eq \f(1,4)，所以xy＝－eq \f(3,16).
与平面向量共线有关的求值问题是平面向量中的热点，常以中档小题出现，解决此类问题的关键是向量关系数量化．本专题主要研究平面向量线性表示背景下的求值问题，并在解决问题的过程中体会运用不同的途径来解决此类问题所蕴含的数学知识及思想方法.