2023届高考数学二轮复习微专题11与平面向量相关的最值问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题11与平面向量相关的最值问题学案，共11页。


例题：如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一动点，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R) ，求x＋4y的取值范围．
变式1设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若∠ABC＝eq \f(π,4)，eq \(OB,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))(m，n∈R)，则m＋n的最小值为________________．
变式2如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(DE,\s\up6(→))＋μeq \(AP,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的最小值．
串讲1已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，则|eq \(BQ,\s\up6(→))|的最小值为________________．
串讲2已知三角形ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，N两点，设eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))(xy≠0)，求4x＋y的最小值．
(2017·新课标Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，求λ＋μ的最大值．
(2018·洛阳三模)在△ABC中，点P满足eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所以直线分别交于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))(m＞0，n＞0)，求m＋2n的最小值．
答案：3.
解析：因为eq \(BP,\s\up6(→))＝2eq \(PC,\s\up6(→))，所以，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up6(→))，4分
又因为eq \(AM,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝neq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3m)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(2,3n)eq \(AN,\s\up6(→))，7分
由于M，P，N三点共线，所以eq \f(1,3m)＋eq \f(2,3n)＝1，9分
所以m＋2n＝eq \f(1,3)(m＋2n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋4＋\f(2n,m)＋\f(2m,n)))≥eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(2n,m)·\f(2m,n))))＝3，12分
微专题11
例题
答案：[1，4]．
解法1建立如图所示的直角坐标系，
设此扇形的半径为1，∠AOB＝60°，所以
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1，0)，设eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xC＝csθ，,yC＝sinθ，))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))))，因为eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，所以(csθ，sinθ)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋y(1，0)，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2sinθ,\r(3))，,y＝csθ－\f(sinθ,\r(3))，))则t＝x＋4y＝4csθ－eq \f(2\r(3)sinθ,3)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))，以下用导数方法求解函数t的最值情况，因为t′＝－4sinθ－eq \f(2\r(3),3)csθ，当θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时，sinθ＞0，csθ＞0，则t′＜0，即函数t在θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))时是单调递减的，所以当θ＝0时，tmax＝4×1－eq \f(2\r(3),3)×0＝4，当θ＝eq \f(π,3)时，tmin＝4×eq \f(1,2)－eq \f(2\r(3),3)×eq \f(\r(3),2)＝1，综上所述，x＋4y的取值范围是[1，4]．
解法2建立解法1中的直角坐标系xOy，设此扇形的半径为1，由于∠AOB＝60°，则
Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，B(1，0)，设C(m，n)，因为C为弧AB上的一个动点，则m2＋n2＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤m≤1，0≤n≤\f(\r(3),2)))，由于eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，所以(m，n)＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))＋y(1，0)，从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(x,2)＋y，,n＝\f(\r(3),2)x，))解得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2\r(3)n,3)，,y＝m－\f(\r(3),3)n，))所以x＋4y＝eq \f(2\r(3),3)n＋4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(\r(3),3)n))＝eq \f(2\r(3),3)(2eq \r(3)m－n)，记t＝2eq \r(3)m－n，则直线l：n＝2eq \r(3)m－t过弧AB上的点，当点l过点B(1，0)时t取得最大值tmax＝2eq \r(3)，当l过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))时，t取得最小值tmin＝eq \f(\r(3),2)，所以x＋4y＝eq \f(2\r(3),3)t∈[1，4]．
解法3取OB的四等分点(靠近点
O)D，连接AD交OC于点E，设此扇形的半径为1，则|eq \(OC,\s\up6(→))|＝1，由于eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋4y×eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋4yeq \(OD,\s\up6(→))，因为A，E，D共线，设eq \(OE,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OD,\s\up6(→))，则λ＋μ＝1，又因为O，E，C共线，设eq \(OC,\s\up6(→))＝keq \(OE,\s\up6(→))，则eq \(OC,\s\up6(→))＝keq \(OE,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OD,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋4yeq \(OD,\s\up6(→))，所以x＋4y＝k＝eq \f(|\(OC,\s\up6(→))|,|\(OE,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,|\(OE,\s\up6(→))|)，当E，D重合时，|eq \(OE,\s\up6(→))|取得最小值，x＋4y取得最大值4；当E，A重合时，|eq \(OE,\s\up6(→))|取得最大值，x＋4y取得最小值1，所以x＋4y∈[1，4]．(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)．
变式联想
变式1
答案：－eq \r(2).
解法1因为∠ABC＝eq \f(π,4)，所以∠AOC＝eq \f(π,2)，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(csθ，sinθ)，θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))，则csθ＝m，sinθ＝nm＋n＝csθ＋sinθ＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))≥－eq \r(2)，当且仅当θ＝eq \f(5π,4)时取等号．
解法2如图，因为∠ABC＝eq \f(π,4)，所以
∠AOC＝eq \f(π,2)，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x，y)(优弧上的点)，由于eq \(OB,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y)＝m(1，0)＋n(0，1)，即x＝m，y＝n，所以m＋n＝x＋y≥－eq \r(2（x2＋y2）)＝
－eq \r(2)，当且仅当x＝y＝－eq \f(\r(2),2)时取等号．
解法3如图，因为∠ABC＝eq \f(π,4)，所以∠AOC＝eq \f(π,2)，不妨设A(1，0)，C(0，1)，B(x，y)(优弧
上的点)，则|eq \(OB,\s\up6(→))|＝1，记OB的反向延长线交AC于点D，则因为A，D，C共线，设eq \(OD,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝1，又因为O，D，B共线，设eq \(OB,\s\up6(→))＝keq \(OD,\s\up6(→))(k＜0)，则eq \(OB,\s\up6(→))＝keq \(OD,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OC,\s\up6(→))＝meq \(OA,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))，所以m＋n＝k(λ＋μ)＝k＝
－eq \f(|\(OB,\s\up6(→))|,|\(OD,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,|\(OD,\s\up6(→))|)，当D位于AC中点时，|eq \(OD,\s\up6(→))|取得最小值，m＋n取得最小值－eq \r(2)，此时x＝y＝－eq \f(\r(2),2).
(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅)
变式2
答案：eq \f(1,2).
解法1以A为原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，C(1，1)，D(0，1)，A(0，0)，设P(csθ，sinθ)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，1)，又eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(DE,\s\up6(→))＋μeq \(AP,\s\up6(→)).故λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))＋
μ(csθ，sinθ)＝(1，1)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)λ＋μcsθ＝1，,－λ＋μsinθ＝1，))
故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(2sinθ－2csθ,2csθ＋sinθ)，,μ＝\f(3,2csθ＋sinθ)，))
从而λ＋μ＝eq \f(3＋2sinθ－2csθ,2csθ＋sinθ)
＝eq \f(（－2csθ－sinθ）＋3sinθ＋3,2csθ＋sinθ)
＝－1＋eq \f(3sinθ＋3,2csθ＋sinθ)，记f(θ)＝－1＋eq \f(3sinθ＋3,2csθ＋sinθ)，由题意得，0≤θ≤eq \f(π,2)，则f(θ)
＝eq \f(6＋6sinθ－3csθ,（2csθ＋sinθ）2)＞0.所以f(θ)＝－1＋eq \f(3sinθ＋3,2csθ＋sinθ)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以当θ＝0时，λ＋μ的最小值为eq \f(1,2).
解法2如图，设正方形边长为1，将向量eq \(DE,\s\up6(→))沿DA平移至eq \(AF,\s\up6(→))，则eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))，连接FP并延长交AC的延长线于点Q，
由于F，P，Q共线，设eq \(AQ,\s\up6(→))＝xeq \(AF,\s\up6(→))＋yeq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(DE,\s\up6(→))＋yeq \(AP,\s\up6(→))，则x＋y＝1，
因为A，C，Q共线，设eq \(AC,\s\up6(→))＝keq \(AQ,\s\up6(→))，则eq \(AC,\s\up6(→))＝keq \(AQ,\s\up6(→))＝k(xeq \(DE,\s\up6(→))＋yeq \(AP,\s\up6(→)))，
又因为eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(DE,\s\up6(→))＋μeq \(AP,\s\up6(→))，由平面向量基本定理得λ＝kx，μ＝ky，所以λ＋μ＝kx＋ky＝k＝eq \f(|\(AC,\s\up6(→))|,|\(AQ,\s\up6(→))|)＝eq \f(\r(2),|\(AQ,\s\up6(→))|)，当|eq \(AQ,\s\up6(→))|最大时，λ＋μ取得最小值，此时P，B重合，|eq \(AQ,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，所以(λ＋μ)min＝kmin＝eq \f(1,2).
(用等和线的知识三言两语就能得出结果，用平面向量基本定理转化需要大量篇幅！)
说明：平面向量线性表示背景下的最值问题涉及平面向量的线性表示、平面向量基本定理、向量共线等知识点，解决此类问题通常是先合理设元将向量关系数量化进而得出未知元之间的关系式，再依据函数的单调性或基本不等式求目标函数的最值．解决问题的关键是目标的有效选择与合理表征，等和线在解决线性目标函数问题时，比较快捷．
串讲激活
串讲1
答案：eq \r(7)－eq \f(2,3).
解法1以A为原点，水平方向为x
轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3)))，
Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3)))，设P(csθ，sinθ)，eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(csθ，sinθ)＋
eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3,2)\r(3)))＝
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)csθ＋\f(1,2)，\f(2,3)sinθ－\f(\r(3),2)))，eq \(BQ,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2)\r(3)))＋
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)csθ＋\f(1,2)，\f(2,3)sinθ－\f(\r(3),2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)csθ＋2，\f(2,3)sinθ＋\r(3)))，
则|eq \(BQ,\s\up6(→))|＝
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)csθ＋2))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)sinθ＋\r(3)))\s\up12(2))＝eq \r(\f(67,9)＋\f(4,3)\r(7)sin（θ＋α）)(α是以sinα＝eq \f(2,7)eq \r(7)，
csα＝eq \f(\r(21),7)的非特殊角)，所以
|eq \(BQ,\s\up6(→))|＝eq \r(\f(67,9)＋\f(4,3)\r(7)sin（θ＋α）)
≥eq \r(\f(67,9)－\f(4,3)\r(7))
＝eq \r(\f(67－12\r(7),9))＝eq \f(3\r(7)－2,3)＝eq \r(7)－eq \f(2,3).
解法2如图，取AC的三等分点D(靠近A)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，又eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，即eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，及eq \(DQ,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))，因为点P是以A为圆心的单位圆上一动点，所以点Q是以点D为圆心，eq \f(2,3)为半径的圆上的动点，又BD＝
eq \r(BC2＋DC2－2BC·DCcs∠BCD)
＝eq \r(32＋22－2×3×2cs60°)
＝eq \r(7)，所以|eq \(BQ,\s\up6(→))|的最小值为eq \r(7)－eq \f(2,3).
串讲2
答案：eq \f(9,4).
解法1由题意可知，M，E，N三点共线，故设eq \(ME,\s\up6(→))＝λeq \(MN,\s\up6(→))(0＜λ＜1)，而eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))，所以eq \(ME,\s\up6(→))＝λeq \(MN,\s\up6(→))，即eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→))＝λ(eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(AM,\s\up6(→)))，即eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))－xeq \(AB,\s\up6(→))＝λ(yeq \(AC,\s\up6(→))－xeq \(AB,\s\up6(→)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－x＋λx))eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－λy))eq \(AC,\s\up6(→))＝0，所以
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)－x＋λx＝0，,\f(1,4)－λy＝0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4（1－λ）)，,y＝\f(1,4λ)，))故4x＋y＝eq \f(1,1－λ)＋eq \f(1,4λ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1－λ)＋\f(1,4λ)))[λ＋(1－λ)]＝eq \f(λ,1－λ)＋eq \f(1－λ,4λ)＋eq \f(5,4)≥2eq \r(\f(λ,1－λ)·\f(1－λ,4λ))＋eq \f(5,4)＝eq \f(9,4)，当且仅当eq \f(λ,1－λ)＝eq \f(1－λ,4λ)时，即λ＝eq \f(1,3)时等号成立，故4x＋y的最小值是eq \f(9,4).
解法2由于M，E，N共线，设eq \(AE,\s\up6(→))＝λeq \(AM,\s\up6(→))＋μeq \(AN,\s\up6(→))，则λ＋μ＝1，因为eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝λxeq \(AB,\s\up6(→))＋μyeq \(AC,\s\up6(→))，由于AD为三角形ABC的中线，所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))，又因为E为AD中点，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))＝λxeq \(AB,\s\up6(→))＋μyeq \(AC,\s\up6(→))，所以
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λx＝\f(1,4)，,μy＝\f(1,4)，))且λ＋μ＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝4(xy≠0)，所以4x＋y＝eq \f(1,4)×(4x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝
eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋1＋\f(4x,y)＋\f(y,x)))≥eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(4x,y)×\f(y,x))))＝eq \f(9,4)，当且仅当x＝eq \f(3,8)，y＝eq \f(3,4)时取得等号．所以4x＋y的最小值是eq \f(9,4).
新题在线
答案：3.
解析：如图，建立平面直角坐标系，设A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，P(x，y)．
根据等面积公式可得圆的半径r＝eq \f(2,\r(5))，即圆的方程是(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)，eq \(AP,\s\up6(→))＝(x，y－1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，－1)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0)，若满足eq \(AP,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2μ，,y－1＝－λ))
μ＝eq \f(x,2)，λ＝1－y，所以λ＋μ＝eq \f(x,2)－y＋1，设z＝eq \f(x,2)－y＋1，即eq \f(x,2)－y＋1－z＝0，点P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝eq \f(4,5)上，所以圆心到直线的距离d≤r，即eq \f(|2－z|,\r(\f(1,4)＋1))≤eq \f(2,\r(5))，解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出现．解决此类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式，再求出目标的最值．本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题，并在解决问题的过程中体会数学思想方法的灵活运用.