2023届高考数学二轮复习微专题18与圆相关的范围与最值问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题18与圆相关的范围与最值问题学案，共8页。


例题：已知圆O：x2＋y2＝1，点P在直线l：2x＋y－3＝0上，过点P作圆O的两条切线，A，B为两切点．
(1)求切线长PA的最小值，并求此时点P的坐标；
(2)求eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最小值．
变式1设P为直线3x＋4y＋3＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________________．
变式2圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆M的方程为(x－2－5csθ)2＋(y－5sinθ)2＝1(θ∈R)．过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值是____________．
串讲1动直线y＝k(x－eq \r(2))与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取得最大值时，k的值为________________．
串讲2在平面直角坐标系xOy中，已知点P(3，0)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积最大值为16，则实数m的取值范围为____________．
(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(csθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为________________．
已知圆M的方程为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相外切．
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得DE，DO，DF成等比数列，求eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))的取值范围．
答案：(1)圆O的方程为x2＋y2＝2；(2)eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))∈[－1，0)．
解析：(1)圆M的方程可整理为(x－2)2＋(y－2)2＝2，故圆心M(2，2)，半径R＝eq \r(2).1分
圆O的圆心为(0，0)，因为MO＝2eq \r(2)，设圆O的半径为r，
因为圆O外切于圆M，所以MO＝R＋r，即2eq \r(2)＝eq \r(2)＋r，解得r＝eq \r(2).3分
所以圆O的方程为x2＋y2＝2.5分
(2)不妨设E(m，0)，F(n，0)，且m＜n.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝2，,y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)，,y＝0，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\r(2)，,y＝0，))
故E(－eq \r(2)，0)，F(eq \r(2)，0).7分
设D(x，y)，由DE，DO，DF成等比数列，得DE·DF＝DO2，
即eq \r(（x＋\r(2)）2＋y2)·eq \r(（x－\r(2)）2＋y2)＝x2＋y2，整理得x2－y2＝1.9分
而eq \(DE,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)－x，－y)，eq \(DF,\s\up6(→))＝(eq \r(2)－x，－y)，
所以eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)－x)(eq \r(2)－x)＋(－y)(－y)＝x2＋y2－2＝2y2－1.11分
由于点D在圆O内，故有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＜2，,x2－y2＝1，))得y2＜eq \f(1,2)，所以－1≤2y2－1＜0，13分
微专题18
例题
答案：(1)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))时，PAmin＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)；(2)(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))min＝－eq \f(4,45)，当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))时取得．
解析：(1)设点P(x0，y0)，PA2＝PO2－1＝x02＋y02－1＝x02＋(－2x0＋3)2－1＝5x02－12x0＋8＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(6,5)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4,5)，故当x0＝eq \f(6,5)，
即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))时，PAmin＝eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).
(2)eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→))2·
cs∠APB＝PA2(2cs2∠APO－1)＝(PO2－1)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2（PO2－1）,PO2)－1))＝PO2＋eq \f(2,PO2)－3，PO≥eq \f(3,\r(5)).令t＝PO2∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，＋∞))，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(2,t)))′＝1－eq \f(2,t2)在t∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，＋∞))上恒大于0，故t＋eq \f(2,t)－3≥eq \f(9,5)＋eq \f(10,9)－3＝eq \f(4,5)＋eq \f(1,9)－1＝－eq \f(4,45)，所以(eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→)))min＝－eq \f(4,45)，当Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(3,5)))时取得．
变式联想
变式1
答案：eq \r(3).
解析：依题意，圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心是点C(1，1)，半径是1，易知PC的最小值等于圆心C(1，1)到直线3x＋4y＋3＝0的距离，即eq \f(10,5)＝2，而四边形PACB的面积2S△PAC＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)PA·AC))＝PA·AC＝PA＝eq \r(PC2－1)，因此四边形PACB的面积的最小值是eq \r(22－1)＝eq \r(3).
变式2
答案：6.
解析：如图，连接CE，CF.由题意，可知圆心
M(2＋5csθ，5sinθ)，设eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋5csθ，,y＝5sinθ，))则可得圆心M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝25，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，才能够满足eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))最小，此时PC＝4，EC＝2，故PE＝PF＝2eq \r(3)，∠EPF＝60°，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝(2eq \r(3))2×cs60°＝6.
串讲激活
串讲1
答案：－eq \f(\r(3),3).
解析：如图，易得直线y＝k(x－eq \r(2))过定点C(eq \r(2)，0)，
曲线y＝eq \r(1－x2)表示圆x2＋y2＝1的上半圆，S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB·sin∠AOB，当∠AOB＝eq \f(π,2)时，
△AOB的面积取得最大值，如图作OH⊥AB，在Rt△AOB中，AB＝eq \r(AO2＋BO2)＝eq \r(2)，则OH＝eq \f(\r(2),2)，又在Rt△OHC中，OC＝eq \r(2)，所以∠OCH＝eq \f(π,6)，则k＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝taneq \f(5π,6)＝－eq \f(\r(3),3)，故答案为－eq \f(\r(3),3).
串讲2
答案：[3＋2eq \r(3)，3＋2eq \r(7))∪(3－2eq \r(7)，3－2eq \r(3)]．
解析：圆的标准方程为(x－m)2＋(y－2)2＝32，则圆心C(m，2)，半径r＝4eq \r(2)，S＝eq \f(1,2)r2sin∠ACB＝16sin∠ACB，当∠ACB＝90°时S取最大值16，此时△ABC为等腰直角三角形，AB＝eq \r(2)r＝8，则C到AB距离为4，所以4≤PC＜4eq \r(2)，即4≤eq \r(（m－3）2＋22)＜4eq \r(2)，所以16≤(m－3)2＋22＜32，即12≤(m－3)2＜28，解得3＋2eq \r(3)≤m＜3＋2eq \r(7)或3－2eq \r(7)＜m≤3－2eq \r(3).
新题在线
答案：3.
解法1d＝eq \f(|csθ－msinθ－2|,\r(m2＋1))＝eq \f(|\r(m2＋1)cs（θ＋φ）－2|,\r(m2＋1))≤eq \f(\r(m2＋1)＋2,m2＋1)＝1＋eq \f(2,\r(m2＋1))≤3，当且仅当m＝0时取得最大值．
解法2因为cs2θ＋sin2θ＝1，所以点P为单位圆上一点，而直线x－my－2＝0过定点A(2，0)，所以d的最大值为OA＋1＝3.
在处理与圆有关的范围和最值问题中，应把握两个“思想”：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心，将最值范围问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想，即利用圆的参数方程．同时，由于最值范围问题从代数意义上讲和函数的联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化.