2023届高考数学二轮复习微专题19圆锥曲线的标准方程的求法学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题19圆锥曲线的标准方程的求法学案，共6页。


例题：已知椭圆C的焦点坐标为F1(－4，0)，F2(4，0)，且椭圆C过点A(3，1)，求椭圆C的标准方程．
变式1已知双曲线C的焦点坐标为F1(－4，0)，F2(4，0)，且双曲线C过点A(3，1)，求双曲线C的标准方程．
变式2如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点(在x轴上方)，连接PF1并延长交椭圆于另一点Q，若点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且△PQF2的周长为8，求椭圆C的方程．
串讲1(2018·南京盐城零模)若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的右焦点重合，则实数p的值为________________．
串讲2在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．已知(1，e)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，\f(\r(3),2)))都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率，求椭圆E的方程．
(2018·天津卷)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，求双曲线的方程．
(2018·苏州零模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(eq \r(2)－1)．求椭圆C的标准方程．
答案：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
解析：由题意得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，故a＝eq \r(2)c，1分
又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为3(eq \r(2)－1)，所以a－c＝3eq \r(2)－3，2分
解得c＝3，a＝3eq \r(2)，所以b2＝a2－c2＝9，4分
所以椭圆C的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.6分
微专题19
例题
答案：eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,2)＝1.
解法1(定义)因为AF1＋AF2＝6eq \r(2)＝2a，得a＝3eq \r(2)，c＝4，所以焦点在x轴上的椭圆C的标准方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,2)＝1.
解法2(方程组)设eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c2＝16＝a2－b2，,\f(9,a2)＋\f(1,b2)＝1，))解得a2＝18，b2＝2.
变式联想
变式1
答案：eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
解法1(定义)因为AF1－AF2＝4eq \r(2)＝2a，得a＝2eq \r(2)，c＝4，所以焦点在x轴上的双曲线C的标准方程为eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1.
解法2(方程组)设eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b＞0)，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(c2＝16＝a2＋b2，,\f(9,a2)－\f(1,b2)＝1，))解得a2＝8，b2＝8.
变式2
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
解析：因为△PQF2的周长为4a，所以a＝2，把P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))代入椭圆C，得eq \f(1,4)＋eq \f(9,4b2)＝1，所以b2＝3，椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
串讲激活
串讲1
答案：6.
解析：双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1的右焦点为(3，0)，所以抛物线标准方程为y2＝12x，所以p的值为6.
串讲2
答案：eq \f(x2,2)＋y2＝1.
解析：由点(1，e)在椭圆上，得eq \f(12,a2)＋eq \f(e2,b2)＝1，通分可得eq \f(12,a2)＋eq \f(c2,a2b2)＝1，b2＝1，由点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，\f(\r(3),2)))在椭圆上，得eq \f(e2,a2)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2),b2)＝1，因为c2＝a2－1，可得a4－4a2＋4＝0，a2＝2.所以，椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
新题在线
答案：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
解析：由eq \f(c,a)＝2，得出c＝2a，b＝eq \r(3)a，因为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，\f(b2,a)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c，－\f(b2,a)))，不妨设渐近线为bx－ay＝0，d1＋d2＝eq \f(|bc－b2|＋|bc＋b2|,\r(b2＋a2))＝6，因为c＞b，得eq \f(2bc,c)＝6，所以b＝3，a＝eq \r(3)，所以双曲线方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1.
高考中，解析几何作为主干内容之一，是考查重点．其中圆锥曲线的基本概念，标准方程及几何性质是解析几何的基本内容，同时也是必考内容．求圆锥曲线的标准方程，离心率等问题不仅填空题经常考查，也经常在大题中出现，本专题着重研究圆锥曲线的标准方程的求法.