2023届高考数学二轮复习微专题41简单线性规划问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题41简单线性规划问题学案，共6页。


例题：(2018·苏州零模)已知变量x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤x≤3，,x＋y≥0，,x－y＋3≤0，))则z＝2x－3y的最大值为________________．
变式1若实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤1，,3x－y≥0，,y≥0，))则|3x－4y－10|的最大值为________________．
变式2已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则z＝|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________________．
串讲1若对圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是________________．
串讲2在平面直角坐标系xOy中，点集K＝{(x，y)|(|x|＋|3y|－6)(|3x|＋|y|－6)≤0}所对应的平面区域的面积为________________．
(2018·无锡一模)已知变量x，y满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥2，,x＋y≤4，,2x－y≤c，))目标函数z＝3x＋y的最小值为5，则c的值为____________．
画出不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))表示的平面区域，并回答下列问题：
(1) 指出x，y的取值范围；
(2) 平面区域内有多少个整点？
答案：(1)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，3))，y∈[－3，8]．；(2)42.
解析：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集
合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合， x≤3表示
直线x＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3.))
表示的平面区域如图所示.5分
结合图中可行域得x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)，3))，y∈[－3，8].6分
(2)由图形及不等式组知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x≤y≤x＋5，,－2≤x≤3，且x∈Z，))当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；
当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；9分
当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，
2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个).14分
微专题41
例题
答案：－9.
解析：如图，作出可行域，由图形可知当x＝0，y＝3时，zmax＝－9.
变式联想
变式1
答案：eq \f(49,4).
解法1eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y≤1，,3x－y≥0，,y≥0，))表示一个三角形ABC及其内部，如图所示，其中A(1，0)，B(0，0)，C(eq \f(1,4)，eq \f(3,4))，且可行域在直线3x－4y－10＝0上方，因此|3x－4y－10|＝－3x＋4y＋10.过点Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4)))时取最大值eq \f(49,4).
解法2因为|3x－4y－10|＝5×eq \f(|3x－4y－10|,\r(32＋42))，设d＝eq \f(|3x－4y－10|,\r(32＋42))，则d表示区域内的点到直线3x－4y－10＝0的距离，可知dmax＝CD＝eq \f(49,20)，则|3x－4y－10|的最大值为eq \f(49,4).
变式2
答案：15.
解法1如图，作出图象可知2x＋y－4<0，6－x－3y>0，那么z＝10－3x－4y.令x＝rcsθ，y＝rsinθ，其中r∈[0，1]，则z＝10－3rcsθ－4rsinθ＝10－5rsin(θ＋φ)≤15.
解法2作出图象可知2x＋y－4<0，6－x－3y>0，那么z＝10－3x－4y.又因为直线z＝10－3x－4y与圆面x2＋y2≤1恒有公共点，所以d＝eq \f(|z－10|,5)≤1，即有5≤z≤15.
说明：变式1和2都运用了直线与区域的关系，复习时应掌握基本方法并理解其几何意义．
串讲激活
串讲1
答案：[6，＋∞)．
解法1设直线l1：3x－4y＋a＝0，直线l2：3x－4y－9＝0，则|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|＝
5(dP－l1＋dP－l2)，因为|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x无关，所以，圆M恰好完全在直线l1和直线l2所夹带状区域内，所以，直线l1：3x－4y＋a＝0在圆M的上方，dM－l1＝eq \f(|－1＋a|,5)＝eq \f(a－1,5)≥1，所以，a≥6.
解法2设点P(x，y)为
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1＋csθ，,y＝1＋sinθ.))那么，|3x－4y－9|＝|3csθ－4sinθ－10|＝|10－5sin(θ－φ)|≥5.则由题意可知|3x－4y－9|＝9－3x＋4y，|3x－4y＋a|＝3x－4y＋a，即3x－4y＋a≥0，得a≥4y－3x＝1＋5sin(θ＋φ)，可知a≥6.
串讲2
答案：24.
解析：当(x，y)在第一象限时，(x＋3y－6)(3x＋y－6)≤0，如图所示，面积为6；由对称性可知，平面区域的面积为24.
新题在线
答案：5.
解析：直线3x＋y＝5与x＝2交于点(2，－1)，点(2，－1)也在直线2x－y＝c上，即c＝5.
简单线性规划是近年来高考的高频考点，指的是目标函数含两个变量的线性规划．简单线性规划问题就是研究线性目标函数在线性约束条件下的最大值或者最小值问题，使目标函数取得最值的点称为最优解．在解题时，尤其要注意对代数式的几何意义(如：绝对值、距离、面积等)进行仔细分析，其实质是把代数问题几何化，体现数形转化的思想.