2023届高考数学二轮复习微专题45利用等差等比数列的性质研究基本量问题学案

这是一份2023届高考数学二轮复习微专题45利用等差等比数列的性质研究基本量问题学案，共6页。


例题：(2018·南京、盐城一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2 017项中的奇数项和为2 018，则S2 017的值为________________．
变式1(2018·镇江一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－2，S6＝9S3，则a5的值为________________．
变式2等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝eq \f(7,4)，S6＝eq \f(63,4)，则a8＝____________．
串讲1(2018·苏州零模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且eq \f(S6,S3)＝－eq \f(19,8)，a4－a2＝－eq \f(15,8)，则a3的值为____________．
串讲2设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝4，S9－S6＝27，则S10＝________________．
(2018·南通三模)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a3＝2, S12＝4S6，则a9的值为__________．
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且d≠0.
(1) 若a1＝5d，则a2＋a7是否是数列{an}中的项？若是，是第几项？若不是，请说明理由；
(2) 求证：数列{an}中任意不同的两项之和仍为数列{an}中的项的充要条件是存在整数m，使得a1＝md，且m≥－1.
答案：(1)a2＋a7是数列{an}的第13项；(2)略．
解析：(1) 若a1＝5d，则an＝(n＋4)d，a2＋a7＝17d＝a13，4分
a2＋a7是数列{an}的第13项.5分
(2) 一方面，若a1＝md，且m≥－1，m∈Z，则an＝(n＋m－1)d.7分
设s，t∈N*，s≠t，as＋at＝(s＋t＋2m－2)d＝(s＋t＋m－1＋m－1)d，而s＋t＋m－1≥1，
所以as＋at是数列{an}的第(s＋t＋m－1)项.8分
另一方面，若数列{an}中任意不同的两项之和仍为数列{an}中的项，设as＋at＝al，s，t，
l∈N*，s≠t，由as＋at＝a1＋(s－1)d＋a1＋(t－1)d＝a1＋(l－1)d，10分
得a1＝(l－s－t＋1)d，令m＝l－s－t＋1，则a1＝md.12分
下面证明：m≥－1.若m<－1，则m≤－2, a1＋a2＝a1＋(m＋2－1)d，而m＋2≤0，所以，
a1＋a2不是数列{an}中的项，与已知矛盾，所以，m≥－1.14分
综上所述，数列{an}中任意不同的两项之和仍为数列{an}中的项的充要条件是存在整数m，
使得a1＝md，且m≥－1.16分
微专题45
例题
答案：4 034.
解法1因为S奇＝a1＋a3＋…＋a2017＝1 009a1 009＝2 018，所以a1 009＝2.
所以S2 017＝2 017a1 009＝2 017×2＝4 034.
解法2设等差数列{an}的公差为d，则{an}的前2 017项中的奇数项a1，a3，…，a2 017也构成等差数列，且公差为2d，所以S奇＝a1＋a3＋…＋a2 017＝1 009a1＋eq \f(1 009×1 008,2)×2d＝1 009(a1＋1 008d)＝2 018.所以a1＋1 008d＝2.
所以，S2 017＝2 017a1＋eq \f(2 017×2 016,2)×d＝2 017(a1＋1 008d)＝2 017×2＝4 034.
说明：比较上述两种解法，“解法1”利用了等差数列的性质求解，紧紧抓住{an}的前2 017项中的奇数项和为最中间项a1 009的1 009倍，又S2 017也恰好是最中间项a1 009的2 017倍，从而给解题带来方便，达到了“事半功倍”的效果．“解法2”是利用“基本量法”求解，思路简洁，但是运算量较“解法1”大．
变式联想
变式1
答案：－32.
解析：因为S6－S3＝9S3－S3＝8S3且S3≠0，所以公比q3＝eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(8S3,S3)＝8，所以q＝2，故a5＝a1q4＝－2·24＝－32.
变式2
答案：32.
解法1因为S6≠2S3，所以公比q≠1.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q3）,1－q)＝\f(7,4)，,\f(a1（1－q6）,1－q)＝\f(63,4)，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝\f(1,4),q＝2，))，则a8＝a1q7＝eq \f(1,4)×27＝32.
解法2同“变式1”，q3＝eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(\f(63,4)－\f(7,4),\f(7,4))＝eq \f(56,7)＝8，所以q＝2，代入条件得a1＝eq \f(1,4)，所以a8＝a1q7＝eq \f(1,4)×27＝32.
说明：本题解法1侧重于“基本量法”，是求解数列问题的通性通法，缺点是有时候计算量稍大！解法2灵活运用等比数列的性质解题，侧重于整体思考，因此有一定的技巧，优点是计算量较小．
串讲激活
串讲1
答案：eq \f(9,4).
解析：因为S6＝－eq \f(19,8)S3≠2S3(S3≠0)，所以公比q≠1.由q3＝eq \f(S6－S3,S3)＝eq \f(－\f(19,8)－1,1)＝－eq \f(27,8)，得公比q＝－eq \f(3,2)，所以a4－a2＝a3q－eq \f(a3,q)＝－eq \f(3,2)a3＋eq \f(2,3)a3＝－eq \f(5,6)a3＝－eq \f(15,8)，故a3＝eq \f(9,4).
串讲2
答案：65.
解析：因为S9－S6＝a7＋a8＋a9＝3a8＝27，所以a8＝9，故S10＝5(a1＋a10)＝5(a3＋a8)＝5(4＋9)＝65.
说明：上述解题方法中，两次恰当运用了等差数列的性质：a7＋a8＋a9＝3a8和a1＋a10＝a3＋a8，给解题带来极大的方便！
新题在线
答案：6.
解析：q6＝eq \f(S12－S6,S6)＝eq \f(4S6－S6,S6)＝3，所以a9＝a3·q6＝2×3＝6.
在数学高考题中考查数列的有关知识时，常常会涉及对考生运用数列的“基本量”或“等差、等比数列的性质”解决有关问题能力的考查．考生如能灵活运用“等差、等比数列的性质”解题，往往收到“事半功倍”的效果．比如在等差数列中，利用性质——d＝eq \f(an－am,n－m)(m≠n)能够很快求得公差d的值，在等比数列中，利用性质——qn＝eq \f(S2n－Sn,Sn)(其中前n项和Sn≠0)能够快速求得公比q的值等.