2022-2023学年广东省潮州市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省潮州市八年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省潮州市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．7，20，24 B．，， C．3，4，5 D．4，5，6
3．（）3的计算结果是（　　）
A．3 B．3 C．9 D．27
4．在四边形ABCD中，连接对角线AC，已知AB＝CD，现增加一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠ACD
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（　　）

A．28 B．14 C．10 D．7
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若a＝b，则a2＝b2
B．若a＝b，则|a|＝|b|
C．若a＝0，则ab＝0
D．全等三角形的对应边相等
9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝（　　）

A． B．2 C． D．2
10．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A． B． C．6 D．12
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．二次根式有意义的条件是 　 　．
12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为　 　．

13．如图，点A在数轴上所表示的数是　 　．

14．计算：＝　 　．
15．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12，则这块地的面积为 　 　．

16．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB+∠AEC＝180°，其中正确的有　 　（填写序号）．

17．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是　 　．

三、解答题（每小题6分，共18分）
18．计算．
19．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形．

20．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC．

四、解答题（每小题8分，共24分）
21．已知：x＝2+，y＝2﹣．
（1）求代数式：x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
22．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：AO＝CO；
（2）若AB＝6，BC＝8，求△AOC的面积．

23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．

五、解答题（每小题10分，共20分）
24．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．

操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB＝　 　，BC＝　 　，AC＝　 　；△ABC的面积为　 　．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
25．问题原型：如图①，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别为边AB、AD中点，且∠EOF＝90°，易得四边形AEOF的面积是正方形ABCD的面积的四分之一．（不用证明）
探究发现：某数学兴趣小组，尝试改变点E、F的位置，点E、F分别为边AB、AD上任一点，且∠EOF＝90°，如图②，探究：四边形AEOF的面积是否为正方形ABCD面积的四分之一？并说明理由．
拓展提升：如图③，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，且点E、F分别在边DC、BC上，四边形AECF的面积是菱形ABCD面积的几分之一？（直接写出结果即可）


参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2．下列各组中的三条线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．7，20，24 B．，， C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
解：A、72+202≠242，故不是直角三角形，不符合题意；
B、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，不符合题意；
C、32+42＝52，故是直角三角形，符合题意；
D、42+52≠62，故不是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．（）3的计算结果是（　　）
A．3 B．3 C．9 D．27
【分析】根据二次根式的乘方法则计算，得到答案．
解：（）3＝3，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的乘法，掌握二次根式的乘方法则是解题的关键．
4．在四边形ABCD中，连接对角线AC，已知AB＝CD，现增加一个条件，不能判断该四边形是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠B＝∠D D．∠BAC＝∠ACD
【分析】根据平行四边形的判定定理和全等三角形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
C、∵AB＝CD，∠B＝∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合题意；
D、∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
5．如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB＝6，BC＝8，则四边形BDEF的周长是（　　）

A．28 B．14 C．10 D．7
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，
∴DE＝BF＝AB＝3，
∵E、F分别为AC、AB中点，
∴EF＝BD＝BC＝4，
∴四边形BDEF的周长为：2×（3+4）＝14，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
解：A、+无需计算，故此选项错误；
B、＝2，故此选项错误；
C、×＝，正确；
D、＝3，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．下列说法错误的是（　　）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【分析】直接利用平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质分别判断得出答案．
解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，不合题意；
B、两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，故原说法错误，符合题意；
C、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，不合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定方法以及菱形的判定方法和三角形中位线的性质、直角三角形的性质，正确掌握相关判定方法是解题关键．
8．下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．若a＝b，则a2＝b2
B．若a＝b，则|a|＝|b|
C．若a＝0，则ab＝0
D．全等三角形的对应边相等
【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据有理数的性质、绝对值的意义和全等三角形的判定进行判断．
解：A、若a＝b，则a2＝b2的逆命题为若a2＝b2，则a＝b，此逆命题为假命题，所以A选项错误；
B、若a＝b，则|a|＝|b|的逆命题为若|a|＝|b|，则a＝b，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C、若a＝0，则ab＝0的逆命题为若ab＝0，则a＝0，此逆命题为假命题，所以C选项错误；
D、全等三角形的对应边相等的逆命题为对应边都相等的三角形全等，此逆命题为真命题，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
9．将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝（　　）

A． B．2 C． D．2
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可求得．
解：如图1，
∵AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2＝AC2，
∴AB＝BC＝＝＝，
如图2，∠B＝60°，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝，
故选：A．

【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质，利用勾股定理得出正方形的边长是关键．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE+AF＝3，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A． B． C．6 D．12
【分析】由AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，易求得∠C的度数，又由在平行四边形ABCD中，证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形，继而求得答案．
解：∵∠EAF＝45°，
∴∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝135°，
∴∠B＝∠D＝180°﹣∠C＝45°，
∴AE＝BE，AF＝DF，
设AE＝x，则AF＝3﹣x，
在Rt△ABE中，
根据勾股定理可得，，
同理可得，
∴平行四边形ABCD的周长是．
故选：D．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．注意证得△ABE与△ADF是等腰直角三角形是关键．
二、填空题（每小题4分，共28分）
11．二次根式有意义的条件是 　x≥6　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x﹣6≥0，
解得：x≥6，
故答案为：x≥6．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为　1.5　．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DF＝AB＝2.5，再利用三角形中位线定理可得DE＝4，进而可得答案．
解：∵D为AB中点，∠AFB＝90°，AB＝5，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE是△ABC的中位线，BC＝8，
∴DE＝4，
∴EF＝4﹣2.5＝1.5，
故答案为：1.5
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13．如图，点A在数轴上所表示的数是　﹣　．

【分析】根据数轴上点的位置，利用勾股定理求出OA的长，即可确定出点A表示的数．
解：根据题意得：OA＝OB＝＝，
则点A在数轴上所表示的数是﹣，
故答案为：﹣
【点评】此题考查了实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
14．计算：＝　　．
【分析】先把各个二次根式化简成最简二次根式后计算．
解：＝（4）
＝×＝．
【点评】在二次根式的混合运算中，要掌握好运算顺序及各运算律．
15．如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12，则这块地的面积为 　24　．

【分析】连接AC，利用勾股定可求解AC的长，由勾股定理的逆定理可得∠ACB＝90°，再利用三角形的面积可求解．
解：连接AC，

∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
∴AC2＝AD2+CD2＝42+32＝52，
∴AC＝5，
∵AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴这块地的面积为：＝，
故答案为24．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，三角形的面积，掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
16．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE；⑤∠AFB+∠AEC＝180°，其中正确的有　①②③⑤　（填写序号）．

【分析】根据正方形的性质可得∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，然后求出AF＝DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，从而判定出①正确；根据∠AFB+∠AEC＝∠DEA+∠AEC＝180°，判断⑤正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF＝∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO＝90°，再得到∠AOB＝90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO＝OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB＝BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE＞BC，即BE＞AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF＝S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．
解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，
∵CE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣CE，
即AF＝DE，
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠AFB＝∠DEA，AE＝BF，故①正确；
∠ABF＝∠DAE，
∴∠AFB+∠AEC＝∠DEA+∠AEC＝180°，故⑤正确；
∵∠DAE+∠BAO＝90°，
∴∠ABF+∠BAO＝90°，
在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
假设AO＝OE，
∵AE⊥BF（已证），
∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在Rt△BCE中，BE＞BC，
∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，
所以，假设不成立，AO≠OE，故④错误；
∵△ABF≌△DAE，
∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，
即S△AOB＝S四边形DEOF，故③正确；
综上所述，正确的有①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．
17．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则△PMN周长的最小值是　9　．

【分析】连接MN，作ME⊥AC，交AD于点E，连接EN，则由轴对称的知识可知，EN就是PM+PN的最小值；再判定四边形ABNE是平行四边形，则可知EN＝AB；然后由菱形的性质及勾股定理可求得AB的值；最后将EN与MN求和即可．
解：如图，连接MN，作ME⊥AC，交AD于点E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，

∵点M、N分别是菱形ABCD的边AB、BC的中点，且两条对角线分别长6和8，
∴BN＝BM＝AM，MN＝AC＝×8＝4，
∵ME⊥AC，交AD于点E，
∴AE＝AM，
∴AE＝BN，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN＝AB，EN∥AB，
已知两条对角线分别长6和8，且对角线互相垂直，
由勾股定理可得：AB＝＝5，
∴EN＝AB＝5，
∴PM+PN的最小值为5，
∵MN不变，当PM+PN取最小值时，△PMN的周长最小，
∴△PMN周长的最小值为：5+4＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、三角形的中位线定理及菱形的性质等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三、解答题（每小题6分，共18分）
18．计算．
【分析】先化简绝对值，再算乘法，最后加减．
解：原式＝﹣1﹣3﹣
＝﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
19．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AFCE是平行四边形．

【分析】由条件AB∥CD，AD∥BC可证到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，要证四边形AFCE是平行四边形，只需证OE＝OF即可．
【解答】证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵E，F分别是OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、线段中点的定义等知识，平行四边形的判定比较多，需结合条件选择合适的判定方法，本题条件与对角线有关，故选择对角线互相平分的四边形是平行四边形这种判定方法．
20．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．
求证：DE∥BC，DE＝BC．

【分析】延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，通过证明△ADE≌△CFE和证明四边形BCFD是平行四边形即可证明三角形的中位线平行于三角形的第三边并且等于第三边的一半．
【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF
∵E是AC中点，
∴AE＝CE，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F
∴BD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥CB，DE＝BC．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理的证明，用到的知识点有全等三角形的判定和全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质．
四、解答题（每小题8分，共24分）
21．已知：x＝2+，y＝2﹣．
（1）求代数式：x2+3xy+y2的值；
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x和y，求这个菱形的面积？
【分析】（1）求出x+y，xy的值，利用整体的思想解决问题；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；
解：（1）∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝4，xy＝4﹣2＝2，
∴x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy＝16+2＝18．

（2）S菱形ABCD＝xy＝（2+）（2﹣）＝1
【点评】本题考查菱形的性质，二次根式的加减乘除运算法则等知识，解题的关键是学会利用整体的思想进行化简计算，属于中考常考题型．
22．如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：AO＝CO；
（2）若AB＝6，BC＝8，求△AOC的面积．

【分析】（1）由矩形的性质和折叠的性质证明∠DAC＝∠ECA，即可得到AO＝CO；
（2）首先求出DO的长，再由三角形面积公式计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC（矩形的性质），
∴∠DAC＝∠BCA（两直线平行，内错角相等），
由折叠得：∠BCA＝∠ECA，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴OA＝OC（等角对等边）；
（2）解：由（1）得AO＝CO，
设OD＝x，则OA＝8﹣x，
在Rt△ODC中，
由勾股定理得：OD2+CD2＝OC2，
∴x2+62＝（8﹣x）2，
∴x＝或x＝﹣（舍去）
∴OD的长为．
∴S△AOC＝6×8×﹣×6×＝．
【点评】本题考查了矩形的性质以及翻折变换的性质，熟记矩形的各种性质以及三角形的面积公式是解题的关键．
23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．

【分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
（2）由（1）可得AF＝BD，结合条件可求得AF＝DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD＝CD，可证得四边形ADCF为菱形；
（3）连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
在△AFE和△DBE中，

∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（3）连接DF，
∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF＝AC▪DF＝×4×5＝10．

【点评】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF＝CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．
五、解答题（每小题10分，共20分）
24．问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．

操作发现：小颖在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C，A，她借助此图求出了△ABC的面积．
（1）在图1中，小颖所画的△ABC的三边长分别是AB＝　5　，BC＝　　，AC＝　　；△ABC的面积为　　．
解决问题：
（2）已知△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝5，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出△ABC，并直接写出△ABC的面积．
【分析】根据勾股定理、矩形的面积公式、三角形面积公式计算．
解：（1）AB＝＝5，BC＝＝，AC＝＝，
△ABC的面积为：4×4﹣×3×4﹣×1×4﹣×3×1＝，
故答案为：5；；；；
（2）△ABC的面积：7×2﹣×3×1﹣×4×2﹣×7×1＝5．

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
25．问题原型：如图①，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别为边AB、AD中点，且∠EOF＝90°，易得四边形AEOF的面积是正方形ABCD的面积的四分之一．（不用证明）
探究发现：某数学兴趣小组，尝试改变点E、F的位置，点E、F分别为边AB、AD上任一点，且∠EOF＝90°，如图②，探究：四边形AEOF的面积是否为正方形ABCD面积的四分之一？并说明理由．
拓展提升：如图③，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，且点E、F分别在边DC、BC上，四边形AECF的面积是菱形ABCD面积的几分之一？（直接写出结果即可）
【分析】探究发现：只要证明△AOE≌△DOF，可得S四边形AEOF＝S△AOD，推出S四边形AEOF＝S正方形ABCD；
拓展提升：结论：S四边形AEGF＝S菱形ABGD．只要证明△DAE≌△GAF即可解决问题；
解：探究发现，四边形AEOF的面积是否为正方形ABCD面积的四分之一．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴DO＝AO，∠ODF＝∠OAE＝45°，∠DOA＝90°，△AOD的面积是正方形ABCD面积的四分之一，
∵∠EOF＝90°，
∴∠AOE+∠AOF＝90°，又∠ODF＝∠AOF＝∠DOA＝90°，
∴∠AOE＝∠DOF，
∴△AOE≌△DOF，
∴S四边形AEOF＝S△AOD，
∴S四边形AEOF＝S正方形ABCD．

拓展提升：结论：S四边形AEGF＝S菱形ABGD．
理由：如图③中，连接AG．

∵四边形ABGD是菱形，∠DAB＝120°，
∴AB＝BG＝GD＝AD，∠GAD＝∠GAB＝60°，
∴△ADG和△ABG都是等边三角形，
∴∠D＝∠AGF＝60°，AD＝AG，
∵∠DAG＝∠EAF＝60°，
∴∠DAE＝∠GAF，
∴△DAE≌△GAF，
∴S△DAE＝S△GAF，
∴S四边形AEGF＝S△ADG＝S菱形ABGD．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．