中考训练思想方法专题：矩形中的折叠问题专项训练与解析

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eq \a\vs4\al(◆)类型一 折叠中求角度
1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )

A．15° B．20° C．25° D．30°

第1题图 第2题图
2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM的度数是( )
A．25° B．30° C．36° D．45°
eq \a\vs4\al(◆)类型二 折叠中求线段长
3．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( )
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

第3题图 第4题图
4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )
A．3 B.eq \f(24,5) C．5 D.eq \f(89,16)
5．★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．

eq \a\vs4\al(◆)类型三 折叠中求面积
6．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E.
(1)求证：△AFE≌△CDE；
(2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积．
7．★如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.
(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；
(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
参考答案与解析
1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED＝110°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.
2．B 3.C 4.C
eq \f(18,5) 解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝eq \f(1,2)BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝eq \r(AB2＋BE2)＝5.∵S△ABE＝eq \f(1,2)AB·BE＝eq \f(1,2)AE·BH，∴BH＝eq \f(12,5)，则BF＝2BH＝eq \f(24,5).∵E是BC的中点，∴FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得CF＝eq \r(BC2－BF2)＝eq \r(62－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(24,5)))\s\up12(2))＝eq \f(18,5).

6．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，∴∠F＝∠B，AB＝AF，∴AF＝CD，∠F＝∠D.在△AFE与△CDE中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠F＝∠D，,∠AEF＝∠CED，,AF＝CD，))∴△AFE≌△CDE.
(2)解：∵AB＝4，BC＝8，∴CF＝AD＝8，AF＝CD＝AB＝4.∵△AFE≌△CDE，∴EF＝DE.在Rt△CED中，由勾股定理得DE2＋CD2＝CE2，即DE2＋42＝(8－DE)2，∴DE＝3，∴AE＝8－3＝5，∴S阴影＝eq \f(1,2)×4×5＝10.
7．解：(1)由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM.∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，∴AM＝2DM.在Rt△ADM中，∵AD＝3，∴由勾股定理得AM2－DM2＝AD2，即(2DM)2－DM2＝32，解得DM＝eq \r(3).
(2)延长MN交AB的延长线于点Q，如图所示．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠ANM＝∠D＝90°，∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝MD＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ.设NQ＝x，则AQ＝MQ＝MN＋NQ＝1＋x.∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°.在Rt△ANQ中，由勾股定理得AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得x＝4，∴NQ＝4，AQ＝5.∵△NAB和△NAQ在AB边上的高相等，AB＝4，AQ＝5，∴S△NAB＝eq \f(4,5)S△NAQ＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×AN·NQ＝eq \f(4,5)×eq \f(1,2)×3×4＝eq \f(24,5).