中考训练模型构建专题：解直角三角形应用中的模型专项训练与解析

模型构建专题：解直角三角形应用中的模型

——形成思维模式，快准解题

类型一　叠合式

1．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°.已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，≈1.414)(　　)

A．34.14米  B．34.1米   C．35.7米  D．35.74米

第1题图        第2题图

2．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行60海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东30°方向，马上以40海里/时的速度前往救援，海警船到达事故船C处所需的时间大约为________小时(用根号表示)．

3．如图，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望，李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他做了一些测量，他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.

4．埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救．如图，其中一艘潜艇在海面下500米的A点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B点，在B处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点距离海面的深度(结果保留根号)．【方法10】

5．如图所示，一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α，其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．

(1)求点H到桥左端点P的距离；

(2)若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.

类型二　背靠式

6．某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为(　　)

A．300米  B．150米

C．900米  D．(300＋300)米

第6题图           第7题图

7．如图，在东西方向的海岸线上有A、B两个港口，甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，同时乙货船从B港沿西北方向出发，2小时后相遇在点P处，则乙货船每小时航行________海里．

8．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房高度的想法，他站在自家C处测得对面楼房底端B的俯角为45°，测得对面楼房顶端A的仰角为30°，并量得两栋楼房间的距离为9米，请你用小宇测得的数据求出对面楼房AB的高度(结果保留到整数，参考数据：≈1.4，≈1.7)．

9．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73)．【方法10】

10．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，求旗杆AB的高度(参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈.计算结果保留根号)．

参考答案与解析

1．C

2.　解析：如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D.在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝60海里，∴CD＝AC＝30海里．在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°－30°＝60°，∴BC＝＝20(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为20÷40＝(小时)．

3．解：如图，作AE⊥CD.∵CD＝BD·tan60°＝BD，CE＝BD·tan30°＝BD，∴AB＝CD－CE＝BD＝42米，∴BD＝21米，CD＝BD＝63米．

答：⑪号楼的高度CD为63米．

4．解：如图，过C作CD⊥AB于D，交海面于点E.设BD＝x米．∵∠CBD＝60°，∴tan∠CBD＝＝，∴CD＝x米．∵AB＝2000米，∴AD＝(x＋2000)米．∵∠CAD＝45°，∴tan∠CAD＝＝1，∴x＝x＋2000，解得x＝1000＋1000，∴CD＝(1000＋1000)＝(3000＋1000)(米)，∴CE＝CD＋DE＝3000＋1000＋500＝(3500＋1000)(米)．

答：黑匣子C点距离海面的深度为(3500＋1000)米．

5．解：(1)在Rt△AHP中，∵AH＝500米，由tan∠APH＝tanα＝＝＝2，可得PH＝250米．∴点H到桥左端点P的距离为250米．

(2)设BC⊥HQ于C.在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝500米，∠BQC＝30°，∴CQ＝＝1500米．∵PQ＝1255米，∴CP＝245米．∵HP＝250米，∴AB＝HC＝250－245＝5(米)．

答：这架无人机的长度AB为5米．

6．D

7．2　解析：作PC⊥AB于点C.∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4海里/时的速度出发，∴∠PAC＝30°，AP＝4×2＝8(海里)，∴PC＝AP×sin30°＝8×＝4(海里)．∵乙货船从B港沿西北方向出发，∴∠PBC＝45°，∴PB＝PC÷sin45°＝4÷＝4(海里)，∴乙货船航行的速度为4÷2＝2(海里/时)．

8．解：在Rt△ADC中，∠ACD＝30°，tan∠ACD＝，CD＝9米，∴AD＝CD·tan∠ACD＝9×＝3(米)．在Rt△CDB中，∠BCD＝45°，tan∠BCD＝，∴BD＝CD＝9米，∴AB＝AD＋BD＝3＋9≈14(米)．

答：对面楼房AB的高度约为14米．

9．解：过点B作BD⊥AC于点D.∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB·sin67°≈520×＝480(km)，BD＝AB·cos67°≈520×＝200(km)．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD·tan30°＝200×＝(km)，∴AC＝AD＋CD＝480＋≈480＋115＝595(km)．

答：A地到C地之间高铁线路的长为595km.

10．解：如图，延长ED交BC的延长线于点F，则∠CFD＝90°.∵tan∠DCF＝i＝＝，∴∠DCF＝30°.∵CD＝4米，∴DF＝CD＝2米，CF＝CD·cos∠DCF＝4×＝2(米)，∴BF＝BC＋CF＝2＋2＝4(米)．过点E作EG⊥AB于点G，则GE＝BF＝4米，GB＝EF＝ED＋DF＝1.5＋2＝3.5(米)．又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝4·tan37°≈3米，则AB＝AG＋BG≈(3＋3.5)米，故旗杆AB的高度约为(3＋3.5)米．