2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第07讲构造几何向量模型寻求简捷解法第08讲构造函数运用函数性质解题含解析

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向量集数与形于一体,它沟通了代数、几何与三角函数的内在联系,构造向量模型解 题被称为数形结合的典范, 应用非常广泛,平面向量可以用来求解解析几何中的许多问 题,在解立体几何问题时,运用空间向量法, 可以使解题过程简洁明快,避免了作辅助线、 证明等烦琐过程,通过向量的加(减)法、向量的数量积计算等轻松求解.
典型例题
【例1】 (1) 已知为正数, 且, 证明;
(2) 对于正整数,定义为和式的最小值,其中,
是正实数,它们的和是17,存在唯一的正整数,使也是一个正整数,求这个正整数.
【分析】
第(1)问为二元基本不等式及其变形公式,用代数方法证明很简单,下面给出的是构造几何图形来证明, 实质也是不等式的几何解释.第(2)问,形似勾股定理,故可以联想构造一系列的直角三角形来求解.
【解析】
(1) 证明 由于.
可先构造,使得.
此时斜边.
再以为斜边,为直角边构造.
则,
最后,作,过作交于.
如图 所示.
由图形直观得 ,
即 .
(2) 如图 所示, 作
因为
所以,即,
因为为正整数,且,
所以,所以(舍去负根).即当时,.
【例2】 (1) 已知正三棱锥,点都在半径为的球面上,若两两相互垂直,则球心到截面的距离为______；
(2) 若均为锐角,且满足.
求证:.
【分析】
第(1)问,利用补体方法,把正三棱锥扩展为棱长为2的正方体,以便于从整体上宏观把握,这种方法便是整体构造,目的在于从更广阔的范围内处理局部问题,是一种重要的解题方法.在本书数形结合的思想方法一章中,也会介绍过数形结合的桥梁――构造法,其中有一道例题是:已知 均为锐角,且.求证:,其题设正是长方体的一个重要性质(读者可在本书相关章节中查阅).本例第(2)问正是上述这道例题的拓展,所不同的是上面所举的例题中,是长方体的体对角线与从一端点出发的三条棱所成的角,而本小题中的是长方体的体对角线与从一端点出发的三条面对角线所成的角,证明过程中除了运用二元基本不等式之外还需运用柯西不等式,这类题从三角函数角度证明极其烦琐,构造立体图形则证明过程简捷明快.
【解析】
(1) 依题意构造一个棱长为2的正方体,则正三棱锥即为该正方体的一个角 (从顶点出发的3条棱分别为,且球心刚好就是以点为一个端 点的体对角线的中点,易知平面与交于的一个三等分点,且平面,进而可得球心到截面的距离.
(2) 证明 如图所示,设为长方体的3条棱,其对角线与3 个面,即与面,面、面所成角分别为，
则
当且仅当 , 即 时取等号.
【例3】 （1）已知,求的值;
（2）求函数的最值;
（3）求函数的最小值;
（4）设,且,求函数的最小值;
（5）若实数满足方程,求代数式的取值范围.
【分析】
这一组题在其相应的知识范围内都是可以解决的,但是若构造向量, 利用向量知识求解显得既简洁又巧妙.
对于(1),在三角函数范围内可以有多种解法,运用向量运算则别具一格.
对于(2),变形后构造向量,利用即可求得函数最值,
对于 ,在向量中有不少含不等式结构的式子,如:||,对所给函数解析式通过构造向量,利用上述不等式求有 关函数的最值.
对于(4),设向量,则与的数量积为・,从而有,当且仅当与同向时取等号:, 得,当且仅当与同向时取等号,上式结论可以推广到空间向量,读者可自行推导.
对于(5), 可以看作圆上一点与定点连线斜率,求斜率的范围,若构造向量,利用即可求得其取值范围
【解析】
(1) 注意到系数满足,可构造向量,于是由,可得,即,故 .
(2) 由原函数解析式变形得,
构造向量.
则, 解得
(3) 所给函数为根式的和,通过对根号内的二次三项式配方,使之转化为向量的模,即 原函数可化为,
设.
(4) 设,由定义有,从而 .
当且仅当与同向, 即时取等号,
当时,取得最小值20.
(5) 设,则 ①
方程 可化为.
故可将①式写成.
构造向量,
则
由得,解得,
故所求的取值范围是.
【例4】 如图所示,已知三棱锥的侧棱,两两垂直,且 的中点.
(1) 求点到面的距离;
(2) 求异面直线与所成的角;
(3) 求二面角的大小.
【分析】
运用空间向量解立体几何问题,体现了“数”与“形”的结合,淡化了传统立体几何从“形”到“形”的推理方法,是构造法思想的体现,通过构造向量把立体几何问题转化到空间向量系统内求解,从而降低了思维难度,使问题变得程序化,这是用空间向量求解立体几何问题的独到之处,在建立恰当的空间直角坐标系的条件下,本题的解法归纳如下:
(1) 点面距离为平面外一点,分别为平面的斜向量和法向量,为到的距离,则.
(2) 异面直线的夹角:设两异面直线所成角为分别是的方向向量,注意到异面直线所成角的范围是,则有.
(3) 二面角:设是两相交平面所成的二面角(或其补角),是平面的一个法向量, 是平面的一个法向量, 则 .
【解析】
(1) 如图所示,为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,则有 ,,设平面的法向量为.
则由知,由知.取,
则点到面的距离.
(2)
,所以异面直线与所成的角为
(3) 设平面 的法向量为 ,
则由知,
由知,取 .
由知平面的法向量为,
则.
故二面角的大小为.
第08讲 构造函数,运用函数性质解题
如果所给出的数学问题从表面上看是非函数问题,但其中有隐含的函数关系,这就要求我们将问题中隐含的函数关系凸显出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解;还有些数学问题尽管函数形态已很明显,由于含有参数,如果问题是求参数的取值范围,按照原有的函数关系很难轻松解决问题,不妨转换思维角度,放弃题设的主参限制,挑选合适的主变元,揭示它与其他变元的函数关系,也就是转换函数关系,切入问题的本质,从而解决原问题;更多的是所给的数学问题根本不是函数问题,条件或结论与函数毫不相关,此时也可通过类比、联想、抽象、概括等手段,构造出某些函数关系,在此基础上利用函数的思想和方法使原问题获解,函数思想在解题中的应用主要
表现在如下两个方面:
(1) 借助于初等函数的性质:单调性、奇偶性、周期性解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题.
(2) 在问题研究中通过建立函数关系或构造中间函数,其中构造函数关系进而利用函数思想解题是更高层次的体现.构造时,要审时度势,充分发掘原题中可类比、联想的因素,促进思维迁移,一旦构造成功,把研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易化繁为简的目的.
典型例题
【例1】当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
A. B. C. D.
【分析】
不等式在某个范围内恒成立求参数的取值范围问题,一般通过参变分离转化为求函数的最值.若所得的函数是高次函数或分式函数,则可运用导数法求最值,并注意端点值的情况.
【解析】
当时,变为恒成立,即.
当 时,,
设
在上递增,
当时,.
假设,
当 时,,当时,.
当时,极小值,即为最小值,而,
综上知,故选 .
【例2】关于的方程恒有解,求的取值范围.
【分析】
本例是含参数方程恒有解的问题,从方程角度不易入手求解,可转化为函数问题,转化的角度不同,得到的解法也有差异.
【解析】
【解法一】
设 , 则 , 原方程有解即方程 有正根,且由 知,两根都为正.
【解法二】
设 .
(1) 当 时, 即 , 解得 或 .
经验证 满足题意.
(2) 当 , 即 或 时, . 只需对称轴 ,即 .
综上可得 .
【解法三】
易得 在内单调递增,在内单调递减, 故 .
【例3】求方程的解.
【分析】
解题策略是超越方程,此类方程在初等数学中没有一般解 法,通过构造函数,然后从函数性质的研究中得出结论才是本题解法的巧妙之处.
【解析】
显然是方程的一个根,记,易证是偶函数.下面探讨在 上的单调性,考察在上(除去外)是否还有其他解.因为 在上是增函数,只需考察在上是否是增函数.任取 ,且,则
因为,所以,由此得.
又, 所以,即,所以 .
即,因此在上为增函数.
故在上为增函数,而,所以在, 上只有一解又为偶函数,在上只有一解.所以原方程的解集为 .
【例4】已知,并且,
求证:.
【分析】
本例是条件三角恒等式的证明,若通过由条件推结论的方法采用三角恒等变形是困难的,分析条件与结论的结构特征,构造出代数函数,利用代数函数的性质来证明.则可轻松解决.
【解析】
证明:把已知等式改写为.
因此,若设,则.
是奇函数,又是递增函数
,即, 亦即.