2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第13讲运用函数运用函数方程思想解三角问题第14讲运用函数方程思想解数列问题含解析

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典型例题
【例1】若,则.
A.B.C.D.
【分析】
在三角求值问题中,运用方程(组)的思想是一种常见的【分析】.本例最为直接的解法是借助公式结合条件,解方程组求得的值,进而求的值;但是若把条件平方,化为的齐次式(利用进行替换)分子分母同除以得关于的一个方程,通过解方程得所求结果,第三种思考方法是因为,而条件是,故可以构造三角方程其中,则易求得的值进而求的值;更为巧妙的是分析题设,其结构符合等差中项的形式,则可构造等差数列解题.构造法思想在本题中可得到充分展示.
【解析】
【解法一】解方程组,故选B.
【解法二】设,则,代人得
解之得,故选B.
【解法三】将两边平方得.
则,
化简得故选.
【解法四】
(其中,则.
即.故选.
【解法五】由于符合等差数列等差中项的形式,故可将原式变形为,
则设.
.得,解得.,故选B.
【例2】已知：①，②
求证：.
【分析】
这是一道条件等式的证明题,条件中有角的三角函数,而结论中没有,消去是必由之路,但接下来的三角恒等变形相当复杂,若仔细观察条件等式,巧妙地构造方程,可得到如下的新颖证法.当然读者可以试用常规方法证明此题,并作比较,体会构造方程、利用方程思想解题的妙处.
【解析】
【证法一】
已知条件可变为，.视与为方程的两根,问题转化为证明此方程的两根之差为零.
由于.因此,.
【证法二】
注意到已知条件中的数学关系,则①式就是以3为元的一元二次方程,而②式的左端恰为该方程的判别式,从而可得.则①式变为
当时,由已知条件可得,从而;当时,由②式知方程③有两个相等的实数根,
,即,代人①式得.
【例3】已知函数.
(1)若当时,的最大值为,最小值为,求实数的值;
(2)若,设函数,且当时,恒成立,求实数的取值范围.
【分析】
第(1)问,为关于的二次函数形式,配方后结合正弦函数的有界性以及对称轴的变动进行分类讨论进而解方程组求之值;第(2)问,可以通过参变分离结合“耐克”函数性质求的取值范围,也可以通过二次不等式在区间上恒成立问题转化为相应二次函数在区间上图像的讨论,两种解法都体现了函数思想且各具特色.
【解析】(1).
当时,.
解得或(舍去)...
当时,解得(舍去,即无解.
综上所述,..
(2)【解法一】.
当时,恒成立,
,令.,则
,即.
的取值范围是.
【解法二】.
当时,恒成立,
令,则,则在上恒成立.
则即.的取值范围是.
【例4】已知两个不共线的向量的夹角为,且为正实数.
(1)若与垂直,求;
(2)若,求的最小值及对应的值,并指出向量与的位置关系;
(3)若为锐角,对于正实数,关于的方程有两个不同的正实数解,且,求的取值范围.
【分析】
本题是三角与平面向量、函数的最值、方程有实根众多知识的综合,函数与方程思想作为一条红线贯串其中.第(1)小题,依据两向量垂直的充要条件求的值,进而运用同角三角比基本关系式求之值.第(2)小题转化为二次函数运用配方法求最小值并以此探究向量与的位置关系.第(3)小题将方程转化为的一元二次方程,通过方程有两个不同实根转化为相应的不等式组,结合三角比的取值范围探求的取值范围.
【解析】(1)由题意得,即.
得,得,又,故.
因此.
(2)
故当时,的最小值为,此时,故向量与垂直.
(3)对方程两边平方整理得①
设方程①的两个不同正实数解为,则由题意得:
得.
若,则方程①就化为一,得,而,故,由,得得且,
当且时,的取值范围为且;当或时,的取值范围为.
第14讲 运用函数与方程思想解数列问题
数列是定义在正整数集或其有限子集上的特殊函数,当然离不开对其函数性质如单调性、最大最小项、周期性的研究,数列的通项公式和前项和公式是关于的函数,也可以将其转化为方程或方程组,等差、等比数列中的“知三求二”计算问题也常用解方程(组)的方法求解,运用函数与方程思想解数列问题的题型主要表现在研究数列的最值问题、范围问题以及数列不等式的证明.
典型例题
【例1】在等差数列中,已知,求.
【分析】
一个数学问题可以从不同的视角进行分析，本题可以套用公式，列方程，用方程组的“通性通法”求解;可以由公差不为0的等差数列前项和这个公式,结合二次函数的性质求解;可以创造一个“和数列”,即对等差数列每10项分成一组,每组的和作为一项构造新数列仍然是一个等差数列,以此求解;可以根据等差数列的性质,即,且,则进行整体代换求解;还可以构造这一关于的一次函数,利用点共线求解.基础题型,解法多样,函数与方程的思想这一主线贯穿其中,可拓展“多元分析”的视野,供读者赏析.
【解析】
解法一：设数列的公差为，则
解得
解法二：设，则解得
从而
解法三：将数列依照原有的顺序每项为一组，每组的和作为一项构造新数列：
，则这个数列是一个首项为，第项为的等差数列，
设新数列的公在为，则该数列的前项和等于，解得
该数列前11项和
解法四：
又由
解法五：形式上是关于的“一次函数．”
三点共线，则，解得
【例2】已知数列满足，且．
求证：
设数列的前项和为，求证：
【分析】本题将数列递推公式与不等式、函数及其最值等知识相结合.集中考查归纳猜想、构造转化、分类讨论等数学思想方法的运用，技巧性较强，要求考生具备较强的思维能力和运算变形能力，如将递推公式转化为“”，在利用反比例函数性质时，先求函数定义域，将转化为含有的表达式，再结合已知条件求出的取值范围都体现了转化与函数思想的运用．
【解析】（1）由题意得，即．
由得，
由得，即
（2）由题意得，
故，
由得.又由（1）知，.
即
将以上各式相加得即
即
【例3】已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意，有
(1)求数列的通项公式；
(2)设，对每个正整数，在与之间插入个1，得到一个新的数列，记数列的前项和为，求使得成立的所有正整数的值.
【分析】第(1)问，由，把条件代入得与的关系，从而求得的通项公式；第(2)问是探究性问题，可采用二项展开式及不等式放缩的技巧进行探究，以寻找正整数的值是否存在.
【解析】（1）当时，由及，得；
当时，由
得
故数列是首项和公差均为2的等差数列．
（2）当时，，满足要求．
当时，若，则，不满足要求；
若，则必为数列中的某一项，不妨设
于是
由，得，即①
显然，不满足①，则当时，有
方程①无正整数解．
综上所述，满足条件的正整数只有一个，即.
【例4】已知函数的最大值不大于，又当时，
（1）求的值；
（2）设，证朋：
【分析】将函数嵌入数列综合题中，突显数列综合应用的多元切入点，是高考命题的热点，本例以函数性质的研究为背景与数列知识融为一体，又汇集了不等式的证明，数学归纳法，在整个解题过程中函数的思想方法始终贯穿其中，是一道精彩纷呈的好题.
【解析】(1)由于的最大值不大于，，即，①
又当时，即解得，②
由①和②得.
（2）证法一：当时，，不等式成立.
，故时，不等式也成立.
假设当时，不等式成立，
的对称轴为，则在上为增函数，
由，得，
即当时，不等式也成立.
根据和可知，对任意，不等式成立.
证法二：当时，，不等式成立.
假设当时不等式成立，即，
即当时，
于是，因此当时，不等式也成立，
根据和可知，对任意，不等式成立.