2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第19讲变元四大策略：均值代换和差代换倒置代换常值代换第20讲参变分离__一种反客为主的解题法含解析

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均值代换中的均值是指个变量的算术平均数，当其为定值时可运用“算术---几何平均不等式”即基本不等式直接予以解答或证明．
如果题设有（常数）的形式，则可引入参数，分别用，代换和，用和差代换解决某些数学问题，简洁明快．
根据题设中数或式的结构特征，利用倒置变换的方法，轻松实现难以人手问题的转换，化难为易，方法灵活．
常值代换是指变换题中已知数与末知数的角色，将“已知”暂时化为“末知”，“末知”又暂时看作“已知”，以此人手解题，非常巧妙，独树一帜．
典型例题
【例1】（1）设，，均为非负实数，求证：；
（2）设，为正数，，证明：．
【分析】运用基本不等式证明不等式有时会出现“放缩过头”的状况，而使证明陷入僵局，第（1）问，如用，则有，同理，，于是有，而实际上，，，，可得，两者矛盾，说明上述用来缩小有点过头，所以用均值代换应当把握好放缩的尺度，注意“适度”．第（2）问，对于这样的条件，除了想到一般的基本不等式外，还应注意“”的妙用．乘以或除以“”，表达式的值均不变，这样往往可以把原表达式表示成更有明显特征的表达式，有利于证明过程的实施．
【解析】证明：（1）由得，即．
也即，同理可得，．
所以．
（2），．又，．
，
由题意，得，，当且仅当时等式成立．
，
当且仅当时取“=”，
所以．
【例2】（1）设，是方程的两个根，求证：对一切自然数，都是偶数；
（2）在中，，，分别是角，，的对边，设，，求的值；
（3）已知，，，．证明：．
【分析】
本例各题用和差代换证明或求解，可起到“降元”的作用，从而变繁为简，化难为易．
【解析】（1）证明：由方程根与系数关系，，．
故令，，由得．．
因此都是偶数．
（2）．可设，，即，
，，
由可得．，故．，，．
则，，
因此．
（3）证明设，，，则．原不等式等价于．
根据，，的对称性，不妨设，，，．
，．
故原不等式．
当时，原不等式，显然成立；
当时，原不等式．
，显然成立，
．
综上，原不等式得证．
【例3】已知数列，若对，都有且．
试证：．
【分析】本例是数列不等式的证明，直接证明难以入手，用数学归纳法涉及放缩法也非易事，若把条件变形为，再取倒数得，研究倒数数列的特点可开辟一条证题的新路，事实上，当我们遇到数列有某种性质难以入手时，转化为先研究的性质往往可以达到解题目的．
证明：且，则，得．
，
即，则
，，，，，
以上各式相加，得：，．
．
【例4】（1）设，都是正数，且，证明：；
（2）解方程：．
【分析】本例两小题采用常值代换．第（1）问，将所证不等式左边分子上的“”用代换，立即可采用基本不等式证明；第（2）问，直接解无理方程运算量大．若把方程变形为．然后化常量为变量．读者看一看将会出现怎样的情况？
【解析】
（1）证明，
（）
当且仅当即时取“=”．原不等式得证．
（2）原方程化为①
令，则①式为②
设，，，
则②式即为．
即动点到两定点，的距离之和等于20，且，可见动点的轨迹是椭圆．其标准方程为．
，．经检验知，它们都是原方程的根．
第20讲 参变分离——一种“反客为主”的解题法
通常解答数学问题总是习惯于把注意力集中在主变元上，思考探求参变元的取值或其范围，这种思考问题的方法当然可以，但不一定是一条好的思路，即使能解但其过程会非常烦琐．若密切注意命题的求解趋势，依从条件与结论的内在联系变换思考方向，视其参变元为主变元进行研究，推导，也能找到解决问题的途径，有时还能获得问题的妙思巧解，这就是参变分离，一种“反客为主”的方法．参变分离法就是把所求参变量与其他变量分离开来，通过研究其他变量构成的解析式的性质来确定所求参变量的范围．这一解法具有思路清晰、有章可循，易于操作等特点．
参变分离法主要用于解以下题型：
（1）函数或方程中求参数的范围问题；
（2）不等式恒成立和能成立问题中求参数的范围问题．
典型例题
【例1】（1）设关于的方程在区间[0,2]内有解，求实数的取值范围；
（2）已知方程有解，试确定实数的取值范围．
【分析】如果从方程角度考虑，两小题的解答都比较复杂，第（1）问，设，原方程化为，由得，则原问题转化为关于的一元二次方程在上是否有解的问题。当然还有一解两解之分，运算量大。通过参变分离，转化为关于的函数求值域就方便许多．第（2）问，原方程改写为，显然，设，则关于的一元二次方程有解且解在之间，也还有一解两解的问题，烦琐且易出错，实行参变分离，把方程转化为函数，运用函数的思想方法解题则很简捷．
【解析】
（1）令，由得，原方程化为，即，当时，有最大值；当时，有最小值．
所以，要使原方程有解，必须有，即实数的取值范围为．
（2）原方程可以改写成，显然．
设，则．．
则，易知函数在上为减函数，，即，
实数的取值范围为．
【例2】（1）若关于的不等式的解集中的整数恰有个，则实数的取值范围是________；
（2）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是________；
（3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．
【分析】本例三小题都是含参数不等式解集的讨论．可以有多种解法，这里重点放在参变分离法及求参数的取值范围上．第（1）问，参变分离后运用图像法解．第（2）问，运用参变分离，然后通过数形结合及考察相应函数的单调性求解．第（3）问，从反面考虑，原问题转换成“对任意，都有，再运用参变分离法转化为函数问题求解．
【解析】
（1）依题知，且．
由此，得．
设．如图4-1所示，当且仅当，即
，也即时，的解集中有个整数，，．
关于的不等式的解集中有个整数时，．故实数的取值范围是．
（2）原不等式可化为．
①当时，．
设，可得在区间内单调递减，在区间内单调递增，因此，，于是，得．
②当时，．
设，则在区间内单调递减，在区间内单调递增，因此，，于是，得．综上，的取值范围是或．
（3）由题意，对任意，都有，即对任意成立．
设，则对任意恒成立．
令，则,
①当时，；
②当时，，当且仅当时，有最大值；
③当时，，当且仅当时，有最大值．
综上得，有最大值，故的取值范围是．
【例3】（1）设函数，其中，是任意给定的自然数，且，若当时，有意义，求的取值范围；
（2）已知函数（其中）在区间上不单调，求的取值范围．
【分析】第（1）问，若能把参变元与变元，分离开来，则问题变得相当明朗，解题的方向也就确定了；第（2）问，三次函数在区间上不单调即其导函数对应的方程在区间上有实根且无重根，通过对实行参变分离将本题转化为求函数的值域．
【解析】（1）由题意有对且恒成立，
即恒成立．
于是原题变为求在时的最大值．
因为，而是上的递减函数，
即在上是递增函数；当时，．
故．
（2），因为在区间上不单调，所以在上有实数解且无重根，
由得，当时有．
令，有，记．则在上单调递减，在上单调递增，所以有，
于是，得．
而当时，在上有两个相等的实根，故舍去，所以．
【例4】（1）对于，恒成立，求实数的范围；
（2）求实数的取值范围，使得对任意实数和任意，恒有．
【分析】第（1）问，二次不等式在某区间上恒成立，一般有两种解题途径：一是构造二次函数，借助数形结合，得到确定图像位置的不等式或不等式组；二是通过参变分离转化为求三角函数的最值，为使解题过程简捷，都可结合换元法求解，比较两种解法，参变分离的优势比较明显．第（2）问，从形式上看就比较复杂，一是多参数，a与\theta都是参数，要考虑分层求解，二是平方和，这种结构与两点间的距离公式相似，故可从这一角度寻找解题思路破题，换元法与参变分离法在解题中起重要作用．
【解析】
（1）【解法一】
原不等式变形为：，
即，
令，，，令，
原题转化为在上恒成立．
或或
解得：或或，
．
即的取值范围为．
【解法二】
原不等式变形为．
当时，不等式恒成立．
当时，，即．
令，则，，则．
在上单调递减．
，，．
（2）令，则原不等式等价于
则原不等式的几何意义是求点与点的距离的平方大于或等于．
换一个角度看，点到直线的距离的平方大于或等于，即．
即，此时实现了对原不等式恒成立，从而消去了，留下含有和的不等式．
下面解决的是对任意恒成立，求的取值范围．
参变分离得或，．
令，则，．
．
，
或．
综上所述，或．