2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第21讲参数思想解题是个好念头第22讲实现数形结合的关键是转化含解析

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参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和末知之间的内在联系，常用参数有：代数中的比值参数、实数参数、代数式参数等（换元法就是引人参数的典型例子）；几何中常用角参数、长度参数等；解析几何中常用斜率参数、坐标参数等．
引进参数的目的是能使问题轻松获解，这是参数法的基本原则．所以，引进参数必须合理，除了要考虑问题中条件与结论的特点外，还必须注意某些量的取值范围，必要时还要对参数的变化范围进行讨论．还应提醒的是原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究的对象，它只起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解．
参数法解题的特点概括起来是：引入参数、参与推导、消去参数、显露结论．
参数思想在解析几何内容占有很重的分量，直线方程、曲线方程的一般形式中的字母系数都可看作参数，参数思想的熏陶与运用是这门学科的重要特色，参数法也是求轨迹方程的重要方法，应给予足够的重视．
典型例题
【例1】（1）已知，且，求的值；
（2）已知，，且，为实数，，求的最大值和最小值；
（3）实数，满足，设，求的值．
【分析】
第（1）问，由条件直接消元即消去，得，的关系式再求的值运算量太大，若引进中间参数，即设，则很容易将条件中的，消去，再引进，则又把问题转化为的方程，解之不难．第（2）问，把复数方程转化为椭圆标准方程，引进角参数，进一步把椭圆标准方程转化为椭圆的参数方程，又一次转化为求三角函数的最值问题．第（3）问有多种引入参数的方法，方法一：由，联想到三角公式，参进参数．通过“三角换元法”将问题转化为熟悉的简单三角函数求的最大值和最小值，还可由的有界性解不等式．求的最大值和最小值．方法二：引进两个参数，，采用“对偶换元法”（和差换元）将问题转化为二次函数求解．
【解析】
（1）设，则，且，则由条件得
，即．
设，则，解得或，或．
（2）由，，得．
令（为参数）
将转化为，
．
当，即，时，；
当，即，时，．
（3）【解法一】
设，代入条件得，
解得，
，，
，．
【解法二】
设，，代入条件整理得，则，
．
．
【解法三】
由，设，，．
则，代入已知式得．移项平方整理得，，解得，
．
【例2】（1）已知定点，，动点在椭圆上运动，求面积的最大值和最小值；
（2）在双曲线上求一点，使它到直线的距离最短，并求出这个最短距离．
【分析】
第（1）问，定点，的距离|PQ|是定值，点是椭圆上的动点，要求面积的最值实质上是求点到直线PQ的距离的最值．若设，则的表达式必包含，两个变量，消元后带有无理式，不易求解；若设，则利用三角知识易求得的最值．第（2）问，利用双曲线的参数方程，通过求距离将所得等式转化为一元二次方程，并用判别式法求的最小值和相应点的坐标．
【解析】
（1）由题意易知直线PQ的方程为，，
又椭圆的参数方程为（为参数，且）
则椭圆上点到直线PQ的距离．显然，当时，最大，且，此时的最大值为；
当时，最小，且，此时的最小值为．
（2）设双曲线上一点的坐标为（且，）
则它到直线的距离为
，
从而，
去分母整理，得
是实数，，
解之，得，
当时，，或．
这时或
故当双曲线上的点为或时，它到直线的距离最小，这个最小值为．
【例3】（1）直线过抛物线的焦点，并且与抛物线交于、两点，求证，对于抛物线的任何给定的一条弦CD，直线不是CD的垂直平分线；
（2）如图所示，抛物线：，：，点在抛物线上，过作的切线，切点为，（为原点时，，重合于），当在上运动时，求线段AB中点的轨迹方程（，重合于时，中点为）．
【分析】第（1）问，引进抛物线的参数形式：（为参数）．将抛物线实行动点化处理．即设，．利用过焦点与CD的中点，求出直线的斜率和直线CD的斜率．再利用反证法推出若与CD垂直会产生矛盾，从而使问题获证．第（2）问，直接利用抛物线的参数方程表示的坐标，的坐标，从而得到AB中点的坐标，在求得切线MA，MB的方程后把点坐标代入．易得双参数，是关于的一元二次方程的根，利用韦达定理并消去参数可得所求点的轨迹方程．
【解析】
（1）直线与抛物线交于两点，与抛物线的轴不可能重合或平行，设，，，不可能关于抛物线的轴对称，，则，的中点坐标．
过焦点，且过点．
直线的斜率．
又直线CD的斜率，
若直线垂直平分CD，则，即，
则，这与矛盾．
直线不是CD的垂直平分线．
（2）当为原点时，，重合于，中点为，即点的轨迹为点，当，不重合于时，设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，
切线MA的方程为，
同理切线MB的方程为，又点的坐标为，且在AM，BM上，
，是方程的两个根，
由韦达定理得，．
可得．
即点的轨迹方程为，也满足，故点的轨迹方程为．
【例4】（1）过点作椭圆的弦，求：
①为弦中点时，弦所在的直线方程；
②为弦三等分点时，弦所在的直线方程．
（2）已知椭圆：的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为（）的直线交于，两点，点在上，．
①当，时，求的面积；
②当时，求的取值范围．
【分析】第（1）问，可运用直线的参数方程，其标准式为（为参数），表示过点，倾斜角为的直线．参数的几何意义是：|t|表示直线上的点到定点的距离，当在点上方时，；当在点下方时，；当与点重合时，，反之亦然．第（2）问，涉及直线过定点的旋转问题，通常用直线的参数方程解比较简捷．
【解析】（1）设直线的方程为（为参数），为的倾斜角．
将的方程代入得．
整理得．
①由定点是弦AB的中点，，即．
．
直线的方程为，即．
②由定点是弦AB的三等分点，或即或，同时，或，则．
即．
整理，得．
即，解方程，得．
直线的方程为．
即或．
（2）①当时，，设AM的倾斜角为，
则AM的参数方程为（为参数）．由，
则AN的参数方程为x=-2-nsin⁡θy=ncs⁡θ (n 为参数).
又M,N在椭圆E上, 则(-2+mcs⁡θ)24+m2sin2⁡θ3=1,(-2-nsin⁡θ)24+n2cs2⁡θ3=1∴m=12cs⁡θ3cs2⁡θ+4sin2⁡θ,n=-12sin⁡θ3sin2⁡θ+4cs2⁡θ 又 |AM|=|AN|.∴|m|=|n|, 即 θ=π4
则S△AMN=12|AM|⋅|AN|=12|mn|=12×12272=14449.
(2) ∵A(-t,0)(t>3), 设AM的倾斜角为θθ∈0,π2.
则AM的参数方程为x=-t+mcs⁡θ,(m 为参数 ). 由 MA⊥NA.
则AN的参数方程为x=-t-nsin⁡θ,y=ncs⁡θ(n为参数).
又M,N在椭圆E上, 则(-t+mcs⁡θ)2t+m2sin2⁡θ3=1,(-t-nsin⁡θ)2t+n2cs2⁡θ3=1∴m=6tcs⁡θ3cs2⁡θ+tsin2⁡θ,n=-6tsin⁡θ3sin2⁡θ+tcs2⁡θ 又 2|AM|=|AN|,∴2|m|=|n|, 即 12tcs⁡θ3cs2⁡θ+tsin2⁡θ=6tsin⁡θ3sin2⁡θ+tcs2⁡θ∴3tan2⁡θ+t3+ttan2⁡θ=12tan⁡θ, 即 3k2+t3+tk2=12k,∴tk3-2=3k(2k-1)
当k3=2时(1)式不成立, 有t=3k(2k-1)k3-2>3. 即 k(2k-1)-k3+2k3-2=k2+1(2-k)k3-2>0
即k2+1(k-2)k3-2