2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第35讲运用对称变换的思想方法解题第36讲构造对偶式巧解数学问题含解析

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在中学数学中，对称的问题主要有以下 4 种形式:
中心对称: ①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。
轴对称: ①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。
平面对称: ①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。
多项式对称: ①一般轮换对称；②顺序轮换对称。
几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转的变换，也是常见的对称变换。
典型例题
【例1】定理一: 函数满足的充要条件是的图像关于直线对称。
定理二: 函数满足的充要条件是的图像关于点成中心对称。
定理三: 函数满足为奇函数的充要条件是的图像关于点成中心对称(注:若不属于的定义域，则不存在．
依次解答如下问题:
(1) 设函数的图像关于直线对称，若时，，求时的解析式；
(2) 若函数的图像关于点中心对称，求的值；
(3) 已知函数在上的图像关于点中心对称，且当时。根据定理二求出在上的解析式；
(4) 设函数在定义域上的图像都是关于点中心对称，则对于函数及，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；
（5）讨论函数的图像的对称性。
【分析】
第(1)问, 直接利用定理一解; 第(2)∼第(4)问,直接利用定理二解; 第(5)问，直接利用定理三解。
【解析】
(1) 的图像关于直线对称，所以，即。
当时，，
因为时，，所以时，
(2) 由函数的对称中心为，得，即，得。
(3) 设，则。
因为，所以，得，
即当时，。
(4) 对于函数，
由于成立。
则的图像关于点中心对称。
对于函数，
由于成立，
则函数的图像关于点中心对称。
对于函数，可以不关于点或中心对称。
反例: ，此时，它的图像不关于点或中心对称。
对于函数，可以不关于点或中心对称。
反例 : ，此时，它的图像不关于点或中
心对称。
(5) 当时，；
当时，。
由上可知函数的图像中间为一线段，右边为开口向上的抛物线的一部分，左边为开口向下的抛物线的一部分，因而图像只可能是关于某点成中心对称，且此点的横坐标。
又是奇函数，
故的图像关于点，即成中心对称。
【例2】在平面直角坐标系中，平行于轴且过点的人射光线被直线反射，反射光线交轴于点 (如图所示圆过点且与相切。
求所在的直线的方程和圆的方程。
设分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标。
【分析】
根据光学原理,光线的入射、反射问题具有轴对称的特点.。在解第(2)问时，还应注意运用点关于直线对称的方法.
【解析】
(1) 直线，设交于点，则，因为的倾斜角为，所以的倾斜角为。所以。
所以反射光线所在的直线方程为，即。
已知圆与切于点，设。因为圆心在过点且与垂直的直线上，
则，所以①
又因为圆心在过点且与垂直的直线上，所以②
由①②得
所求圆的方程为。
（2）由知点关于的对称点为, 则, 且，联立得。
由点与圆的位置关系知当点共线时, 最小, 且直线过圆心, 故的最小值为.
设, 由得
解得即|
最小值.
【例3】(1) 已知直线过原点，抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，若点和关于的对称点都在上，求直线和抛物线的方程；
(2) 是否存在实数，使抛物线上总有关于直线对称的两个
点? 若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围。
【分析】数学的对称美充满了整个数学世界，利用对称处理数学问题的思想方法即对称思想方法。在处理解析几何问题中，充分林拜对妳余件，引入对称点坐标参数，从而巧妙解答问题便是对称思想方法的灵活运用。第(1)问，两点坐标已知，对称轴过原点，可引入倾斜角为参数，则的方程为，依次求出两点关于直线对称的坐标，根据两点在抛物线上，将其代入抛物线方程，得到两个关于和的方程组，解方程组即可求得和的值，则直线和拋物线的方程即可求得。第问，解法有两种:(1)如果存在对称的两点满足题设要求，显的中点在扥物线内部, 构成一个含有的不等式, 从而确定的取值范圊; (2)按照对称问题的一般处理方法, 即两点连线与对称轴垂直, 的中点在对称轴上,且直线与抛物线必有两个交点, 消元后的一元二次方程必有两个不等的实根,判别式应大于 0, 进而可求解.
【解析】
（1）设的倾斜角为，则的方程为设关于对称，如图所示，与交于点，则，从而的坐标为同理点关于的对称点的坐标为，再将的坐标分别代人，得
由①②解得，即
由解得为锐角，舍去)，
则，故的方程为，拋物线方程为。
（2）假设存在拋物线上两点关于直线对称，记线段
的中点为，则点在上，即。
联立两式相减，得。
因为直线垂直于直线，所以。
又因为，所以由得。
若，则点在抛物线内部，得关系式，
由不等式组解得；
若，则点在拋物线内部，得关系式，
由不等式组，整理得
综上所述，的取值范围为。
【例4】在平面直角坐标系中， 点 到点 的距离的 4 倍与它到直线 的距离的3倍之和记为。 当点运动时，恒等于点的横坐标与18之和。
(1) 求点的轨迹的方程；
(2) 设过点的直线与轨迹相交于 两点，求线段 长度的最大值。
【分析】
在第 (1)问中，求点的轨迹的方程，由于涉及点到直线的距离，须用到绝对值符号，所求方程一般是分段的，解题过程势必烦琐，分类讨论是不可避免的。第问，过点的直线与第问求得的轨迹方程交于两点，由于轨迹方程是分段的，所以需要讨论交点在哪一段曲线上。若是轨迹方程的焦点，本题就成了与圆锥曲线的焦点弦或焦半径有关的问题，一般情况下，在平面直角坐标系分析解决问题比较普遍与灵活，如果圆锥曲线是标准方程，对于椭圆、双曲线而言，其图形既关于坐标轴对称，又关于原点对称，对于抛物线，总有一条坐标轴为其对称轴。抓住对称性会给解题带来便利，要立足于学会并善于在平面直角坐标系中分析解决常规问题，对于圆锥曲线焦点弦的问题，在极坐标系中是否可能使问题变得容易解? 如果直接进行两种不同坐标系的转换 (即极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴)，则圆锥曲线的极坐标方程形式复杂且不同的圆锥由线方程又不统一，直接转换没有优势，只有通过重建极坐标系(即以焦点为极点，为极轴重建极坐标系)，则圆锥曲线的极坐标方程是统一的，焦点弦长的计算就变得非常方便，问题的解决会简捷许多，对称性的运用可以减少运算过程。特别要强调的是，这里不是两种坐标系的“互化”，而是重新建系，这是一种极其有效的解题策略。
【解析】
设点的坐标为, 则①
当时, 由①式得化简得②
当时, 由①式得化简得③
故点的轨迹是椭圆在直线的右侧部分与抛物线在直线的左侧部分(包括它与直线的交点)所组成的曲线,如图所示.
(2)
【解法一】
解法一（在已知平面直角坐标系内求解, 充分利用图像的对称性)如图所示, 易知直线与的交点都是, 直线的斜率分别为.
由于点是椭圆和抛物线的共同焦点, 故可以用焦半径求解：
当点在上时, 由②式知④
当点在上时, 由③式知⑤
①当或, 即或时, 直线与轨迹的两个交点都在上, 此时由(4)式知,
从而.由得,
则是这个方程的两根,
所以,
因为当或时, .
所以.
当且仅当时,等号成立.
当，即时，直线与轨迹的两个交点，分别在上，不妨设点在上，点在上（根据对称性，只需考虑这种情形)，则由④⑤两式知，。
设直线与椭圆的另一交点为，则，
有。
所以而点都在上，且，
由①可知，所以，若直线的斜率不存在，则，
此时
综上，线段长度的最大值为。
【解法二】
以点为极点，射线为极轴重建极坐标系，则此时曲线 (椭圆部分)和曲线 (拋物线部分) 的极坐标方程分别为
当时，直线只与曲线相交，此时有
对，有，故。
所以
当或时，直线与曲线和都相交。
根据对称性，只考虑其一即可，不妨取，且点在上，点
在上，则有。
设，则在上是减函数
故有。
由①②可得，此时或，直线为或。
第36讲构造“对偶式”，巧解数学问题
在解答某些数学问题时，针对已知式的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子，使与经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。
通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程（组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。
典型例题
【例1】求证: 。
【分析】
本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明
【解析】
【证明】
设，
所以，命题得证
【例2】已知是方程的两根，且，不解方程，求的值。
【分析】若要不解方程求的值, 因为是非对称式, 无法化为及的形式,所以需要构造相应的对偶式，两者结合就可以化为及的形式，然后运用韦达定理,从而求出的值.
【解析】
设，构造对偶式。
是方程的两根。
。
【例3】求下列各式的值：
(1) ；
(2) 。
【分析】利用正余弦三角函数的互余对偶, 构造对偶式求解,则解题过程非常简捷, 此时原问题转化为代数方程组,利用加减消元法获得结果,或两对偶式相乘结合诱导公式直接消去引进的对偶式即得结果.
【解析】
(1) 设，
两式相加，得，即。
因此，得。
(2) 设，
另设。
【例4】(1) 若函数满足 (其中是不等于零的常数，且，求函数的解析式；
（2）已知函数满足，求的值域；
，求。
【分析】
第以问，代替，构造出与之对应的对偶式，联立方程组解出. 第问还需用判别式法或基本不等式法进一步求的值域. 第 (3)问, 构造对偶式(即写出原等式的逆序形式),再利用组合数性质, 两式相加即可求得. 这也就是推导等差数列前项和的公式的方法逆序相加法.
【解析】
(1) 用代替，得原式的对偶式。
（2）
③
求③的值域可用判别式法
也可用基本不等式
当时，，
（3）
构造对偶式，即原式逆序形式
（运用等差数列性质，在等差数列中，若
（运用二项展开式二项式系数之和的公式）
（运用等差数列通项公式）