2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第47讲命题之间的转化变换第48讲纵向化归解题法含解析

这是一份2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第47讲命题之间的转化变换第48讲纵向化归解题法含解析，共14页。

就是说在解决问题时, 将原问题进行变形, 使之转化, 直至最终归结为我们熟悉的,或易于解决的,或已经解决的问题, 命题之间的转化与变换的基本方向就是“把末解过的题目归结为已经解过的题”,使复杂问题简单化、难解问题容易化、末知问题已知化、抽象问题具体化。
典型例题
【例 1】如图所示,已知半圆的直径为为位于半圆之外, 而又垂直于延长线的一直线,其垂足为, 且, 又是半圆上的不同的两点, , 且求证:
【分析】
如果限于平面几何的方法证明本例, 则较困难, 但若使用原理, 即关系(Relatin)、映射(Mapping）、演(Inversin) 原理将此几何问题映射为代数问题, 运用代数变换方法先寻求代数结论, 再反演为几何结论,则就方便多了。本例条件中给出了以为直径的半圆, 又给出了, 即动点到定直线的距离等于到一定点的距离, 显然符合抛物线的定义, 如果以为极点, 所在射线为极轴建立极坐标系, 则本题可以用下述过程来求解,如图所示.
推广到一般,RMI 原理解题的过程(即命题之间的转化与变换)如图所示.
【解析】
【证法1】以为极点,射线为极轴建立极坐标系,设,
则半圆方程为.
设则且
又由题图知,
而, 即,
同理
由①③得
由②④得
式⑤⑥说明是方程的两根.
按韦达定理有, 故.
【证法2】以为极点, 射线为极轴建立极坐标系. 根据已知条件及抛物线定义,可知两点是以为焦点, 为准线的抛物线上的两点, 而抛物线方程为, 以此与半圆方程联立, 同样可证得
【例 2】已知数列各项为正数, 且满足, 求数列的通项公式.
【分析】
非等差数列、非等比数列的问题常通过构造辅助数列转化为等差数列或等比数列求解,构造法使转化与化归的数学思想显得更加丰富多彩.
【解析】
将等价变形为,
同理可得, 令, 则,
两边取对数得.
变形为, 且.
数列是以为首项, 2 为公比的等比数列.
,
, 即. .
【例 3】如图所示,已知正方形的边长为 1 . 点分别在上, 的周长为 2 。
(1) 求的最小值;
(2)试探究是否为定值? 若是定值,请给出证明;若不是定值,请说出理由.
【分析】
第问, 可通过引入为参数, 将转化为含的函数, 求三角函数的最值; 第问, 可通过引入参数, 将探究的定值问题转化为探究为定值的问题, 并由此强化构造直角三角形解题的意识,当然探求的过程可以不相同,但只要思维是合理的,便可在理性分析的基础上选择运用. 如本小题,设, , 由条件易得, 可以借助余弦定理或通过建立直角坐标系运用, 的数量积公式求角,但运算量均较大,这样的思考对于本题而言,合理性不㿟.一般而言,“坐标法”是应坚持的解题的重要方法, 但应克服“习惯性”偏爱“坐标法”解题的习惯, 寻找更为巧妙的解题途径.
【解析】
(1) 设, 则, 依题意, 的周长为
于是
此时
(2) 【解法1】设, 依题意, , 即, 亦即,
设, 则,
易得图 7-22
或者作, 垂足为 (如图所示), 则,
由此可得
【例 4】已知定点和是圆上的一动点,求的最大值和最小值.
【分析】
这是一道解析几何问题,若设, 由距离公式写出为的二元函数, 消元很不方便,若设，由距离公式写出的三角函数式,则原问题转化为三角函数求最值. 但解题过程仍然较烦琐, 因为是的中点, 所以, 若利用向量转化为求向量的最值问题,则解题过程相对简捷.
【解析】
如图所示, 设已知圆的圆心为, 由已知可得
又点P在圆上，，且
故的最大值为 100 , 最小值为 20 .
第48讲纵向化归解题法
纵向化归是把面临的新问题,通过减元、降维等加工手段化归为已知 (已解决)的问题,或是化归为熟悉的,简单的、具体的问题来处理,最后通过对新问题的解决而将原问题圆满解决, 比如解不等式的化归过程是：
超越不等式→代数不等式→有理不等式→一次或二次不等式.
数列问题的化归过程是：
一般数列问题尤其是递推数列问题→等差或等比数列→结合等差或等比数列的性质求解.
解析几何问题的化归过程是：几何问题→函数或方程问题.
立体几何问题的化归过程是：空间问题（通过构造辅助平面）→平面问题
典型例题
【例 1】 (1) 当实数取何值时,方程有一个实数解、两个实数解，没有实数解？
(2) 定义区间的长度为, 其中. 由不等式组的解集构成的各区间长度的和等于 6 . 求实数的取值范围.
【分析】
第问是一道含参数对数方程的根个数的讨论,属于经典例题, 可以运用代数的方法解,也可以运用数形结合的方法解,但不论是哪种方法,首先都要把超越方程化归为代数方程, 然后再进一步求解. 当然若采用数形结合法,关键在于构造函数,构造的函数不一样,解法也就各异,如方程可以变形为, 令,探究这两个函数的交点个数问题;若直接令, 可得数形结合的另一种解法,读者可以试一试,作个比较, 看怎样的解法是最为简捷的. 第问,若设不等式的解集为, 不等式的解集为, 则易得,而后一个不等式显然, 要得到不等式组解集的长度为 6 , 易得应恒成立,则解题的思路明朗了,当然键在于如何处理䊒玤玨式组再进一步解下去!
【解析】
(1) 【解法1】原方程可化为: .
即, 令.
由题意可知,
原方程有一个解等价于: 或
解上述不等式或不等式组可得: 或, 经检验不符合题意,
所以当或时, 原方程只有一个解.
原方程有两个解等价于: 解此不等式组可得: ，
所以当时, 原方程有两个解.
由①②可知, 当或时, 原方程没有实数解.
【解法2】
原方程可化为: , 即.
令, 分别作出上述两个函数的图像.
根据图像交点的个数即可得与解法一同样的结论.
(2) 不等式的解集,
设不等式的解集为,
不等式组的解集为.
不等式组的解集构成的各区间的和等于 6 ,
不等式组在时恒成立, .
等价于
【例 2 】在平面直角坐标系中, 为直线上在第一象限内的点, , 以为直径的圆与直线交于另一个点若, 则点的横坐标为（）
【分析】
本题把直线与圆, 平面向量的数量积等知识汇合在一起,求相关点的坐标,当然可以从解析几何的角度求解,也可以平面向量为工具求解,解题时的切入点不同,解法也就不同.在同一系统内, 可以从不同的角度思考, 巧妙地转化, 本题在几何中蕴含代数特征,如果引进某一个角, 则可构造出三角函数用来处理解析几何问题,若借助平面几何相关知识(如垂径定理、圆周角定理、直径所对圆周角为直角等), 则可构造出用平面几何知识处理圆的相关问题, 只要对题中蕴含的相关知识融会贯通, 从中“悟”出的解题方法,往往都是优美的、赏心悦目的。
【解析】
【解法1】 (构造法一: 从直线与圆的交点切人）设, 而, 则圆心, 以为直径圆的方程为, 与直线联立, 消去并整理得: .
可得或, 则.
当直线斜率不存在时, , 显然不符合要求, 由, 解得或 (不符合条件,舍去).
点的横坐标为
【解法2】（构造法二: 从点到直线的距离切人) 由于, 即, 而, 则.
圆以为直径, ,
点到直线的距离为.
设, 则. 解得或 (舍去点的横坐标为
【解法3】（构造法三:以向量法切人)由题意可设, 则,
圆以为直径,则有, 又,
解得
点的横坐标为 3 .
【解法4】 (构造法四:引人三角知识结合斜率公式求解) 由即, 而, 则.
设直线的倾斜角为, 则,
则直线的斜率.
设, 则由, 得点的横坐标为 3 .
【解法5】 (构造法五:运用平面几何知识求解) 由, 而, 则, 而圆以为直径, 则,
设, 由于直径的斜率为 2 , 可知, 故.
在中, , 解得.
在中, 可得, 由三角形的等面积法可得
, 解得, 代人直线, 可得,
点的横坐标为
【例 3】如图所示, 在斜三棱柱中, 侧面与侧面成角, 且两个侧面的面积之比为 : , 若这个棱柱的侧面积为, 体积为, 且. 已知斜三棱柱的体积等于直截面面积与侧棱长之积,求侧棱长.
【分析】
有关斜棱柱侧面积和体积的计算直接求解是困难的, 可以通过斜棱柱的直截面这个辅助平面求解,斜棱柱的直截面就是与各条侧棱垂直且相交的截面, 于是有; ，因此, 构造斜棱柱的直截面能方便快捷地求解斜棱柱的侧面积和体积实质上已化归为平面问题).
【解析】
作直截面, 如图所示. 则,
, .
设, 由余弦定理得
由得
【例4 】(1) 设是椭圆的左右焦点, 弦过点, 求的面积的最大值;
（2）过椭圆的左焦点作一直线交椭圆于两点, 为椭圆的右顶点, 求面积的最大值.
【分析】
本例两小题都是求与椭圆相关的三角形面积的最大值, 由于两小题都涉及动直线问题, 引进参变量显得很重要. 第问, 设动直线的倾斜角为参数, 则可扣住椭圆定义结合余弦定理获得一种巧妙的解法, 其解题过程是把解析几何问题化归为三角函数问题, 并通过换元化归为耐克函数性质的研究. 第问, 以动直线的斜率为参数,则要分类讨论斜率不存在的情况,而且要求三角形面积的最值, 由于解析式较为复杂,解题的技巧性很强,且方法也多, 如可以通过变形化归为代数函数求最值,或通过去分母并换元化归为二次方程用判别式法求最值,还可通过三角换元与代数换元化归为“耐克函数”求最值.
【解析】
(1) 如图8-4所示, 设. 由椭圆的定义知。
在和中, 应用余弦定理,得
令
在上是增函数,
当即时, . 故的面积的最大值为.
(2) , 且当直线的斜率不存在时, .
当直线的斜率存在时, 设直线的方程为,
联立方程组消去并整理得. 显然,
,
, 设,
下面用多种方法求的最大值.
【解法1】设, 其中,
则
, 设.
则在上是减函数, ;
当时, . 综上, 面积的最大值为.
【解法2】
令, 则,
又函数在上是减函数, , 即. 当
时, 由解法一得,
综上, 面积的最大值为.
【解法3】
当时，由解法一得
综上，的面积的最大值为