2023届高考数学二轮复习思想方法与解题技巧第55讲整体局部第56讲整体代换法含解析

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典型例题
【例 1 】已知正三棱雉的高为, 其内部有一个球与它的 4 个面都相切,求:
（1）正三棱雉的表面积;
（2）正三棱雉内切球的表面积与体积.
【分析】思考下列启发式问题：
(1) 要求正三棱雉内切球的表面积与体积, 公式与中需要求出哪些量?
(2) 上一问,显然只要求出球的半径即可,那么半径与三棱雉的各棱长或者各个面有什么联系? 这些互相联系的数量如何求出来?
（3）如果用等体积法求解, 那么如何对三棱雉这个整体进行适当分割, 即如何实现整体与局部之间的转化呢?
【解析】
(1) 如图所示, 底面三角形中心到的距离
则正三棱锥侧面的斜高为. . 故.
（2）设正三棱锥的内切球球心为, 联结, 而点到三棱雉的 4 个面的距离都为球的半径.
，解得
【例 2】四面体的 6 条棱中, 有 5 条棱长都等于.
（1）求该四面体体积的最大值;
（2）当四面体的体积最大时,求其表面积.
【分析】
从整体上求四面体体积,可运用公式, 但这个比较难求,故可寻找四面体的直截面(与侧棱垂直且过一条底边的截面),把这个整体分割为两个雉体求体积, 再求和,这是一种通解通法. 由于本例涉及最值问题,一般思路是在得到解析式后利用函数思想或基本不等式进行求解.
【解析】
如图所示, 在四面体中, 设, 取的中点为的中点为, 联结, 由平面可得当且仅当，的最大值为
(2) 由知。
【例 3 】如图 10 - 3 所示, 已知点为斜边上一点, 且, 记.
(1) 证明: .
(2) 若, 求的值.
【分析】
证明, 即把看作一个整体, 求出它的值为 0 , 另外, 在解三角形问题时,必须抓住三内角之和为这一整体.
【解析】
(1) ,
, 即.
,
即.
(2) 在中, 由正弦定理得,
,
令, 则, 解得 (舍去).
.
第56讲整体代换法
在解题过程中, 将已知某个部分整体代人达到简化运算、迅速使原问题获解的方法称之为整体代换法.
典型例题
【例 1】若正数满足, 则的最小值是（）。
A. B. C. 5D. 6
【分析】
在解题过程中,将已知某个部分整体代入可简化运算. 比如本例条件可变形为, 即把 1 用代换这是一种常值代换,若设代入, 则为整体代换, 可使原问题转化为求的最小值.
【解析】
【解法1】
（将已知条件进行转化,通过常值代换, 再利用基本不等式求解)
, 由得,
(当且仅当时取等号)
的最小值为 5 , 故选.
【解法2】
（整体代换)设,
所以方程①由两个正根，解得
的最小值为 5 , 故选 C.
【例 2】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上, 椭圆上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 .
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若直线与椭圆相交于两点不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点, 并求出该定点的坐标.
【分析】
设, 以为直径的圆过椭圆的右顶点,则必定有斜率之积为这个关系式,从而出现用表示的等式,联立直线与椭圆的方程通过消元并运用韦达定理可得用参数表示的关系式,通过整体代入进行求解. 这种“设而不求”是处理解析几何问题最基本的思路,解题过程简捷,计算量小, 实质上是利用问题中整体与局部的关系,通过整体代入、整体运算、整体消元等方法简化运算过程,顺利求解.
【解析】
(1) 设椭圆的标准方程为,
, 因此, 椭圆的标准方程为.
(2) 设, 由得,
则.
由韦达定理得.
以为直径的圆过椭圆的右顶点, 故.
, 整理得.
代人得, 化简得, 由此解得且满足.
当时,,直线过定点,而为右顶点,与已知矛盾;
综上可知,直线过定点,定点坐标为.
例对任意,求证:.
解题策略不等式左边是个因式的连乘积,直接证明肯定困难,解题关键是对不等式左边部分的结构特点有清晣的认识.
若设
显然是代数式中的一部分.这个代数式就是整体,而是它的局部,我们再构造两个相关式.
显然也是上述代数式的局部,即上述代数式,利用这种整体与局部的关系,结合放缩法可顺利获证.
证明设
构造相关式，
故
从而