中考数学二轮复习重难点复习题型04 多边形证明 类型二 特殊四边形证明（专题训练）（2份打包，原卷版+解析版）

题型四 多边形证明

类型二 特殊四边形证明（专题训练）

1.如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．

【分析】根据菱形的性质可得∠B＝∠D，AB＝AD，再证明△ABE≌△ADF，即可得∠BAE＝∠DAF．

【解答】证明：四边形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝AD，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（SAS），

∴∠BAE＝∠DAF．

2.如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．

求证：四边形BEDF是菱形．

【分析】四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BFC，△DCF≌△BEA，进而证明平行四边形BEDF是菱形．

【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，

∴∠DCF＝∠BCF，

∵CF＝CF，

∴△CDF≌△CBF（SAS），

∴DF＝BF，

∵AD∥BC，

∴∠DAE＝∠BCF，

∵AE＝CF，DA＝AB，

∴△DAE≌△BFC（SAS），

∴DE＝BF，

同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），

∴DF＝BE，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵DF＝BF，

∴平行四边形BEDF是菱形．

3.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点．求证：DE=BF．

【答案】证明见试题解析．

【分析】

由矩形的性质和已知得到DF=BE，AB∥CD，故四边形DEBF是平行四边形，即可得到答案．

【详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB=CD，

又E、F分别是边AB、CD的中点，

∴DF=BE，

又AB∥CD，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴DE=BF．

考点：1．矩形的性质；2．全等三角形的判定．

4.已知：如图，在▱ABCD中，点O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E，求证：AD＝CE．

【分析】只要证明△AOD≌△EOC（ASA）即可解决问题；

【解答】证明：∵O是CD的中点，

∴OD＝CO，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠OCE，

在△ADO和△ECO中，

，

∴△AOD≌△EOC（ASA），

∴AD＝CE．

5.如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．

求证：EG＝FH．

【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，

在△BEG与△DFH中，，

∴△BEG≌△DFH（ASA），

∴EG＝FH．

6.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．

（1）若OE，求EF的长；

（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．

【分析】

（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF，进而得出EF的长；

（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AO＝CO，

∴∠FCO＝∠EAO，

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE＝OF，

∴EF＝2OE＝3；

（2）四边形AECF是菱形，

理由：∵△AOE≌△COF，

∴AE＝CF，

又∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形．

7.已知：如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且BE平分∠ABC，EF∥AB．求证：四边形ABFE是菱形．

【答案】见解析

【分析】

先证四边形ABFE是平行四边形，由平行线的性质和角平分线的性质证AB＝AE，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．

【解析】

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

又∵EF∥AB，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠FBE，

∵AD∥BC，

∴∠AEB＝∠EBF，

∴∠ABE＝∠AEB，

∴AB＝AE，

∴平行四边形ABFE是菱形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、菱形的判定，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明，特别注意角平分线加平行，可证等腰三角形．

8.如图，四边形是菱形，点、分别在边、的延长线上，且．连接、．

求证：．

【答案】见解析

【分析】

根据菱形的性质得到BC=CD，∠ADC=∠ABC，根据SAS证明△BEC≌△DFC，可得CE=CF．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴BC=CD，∠ADC=∠ABC，

∴∠CDF=∠CBE，

在△BEC和△DFC中，

，

∴△BEC≌△DFC（SAS），

∴CE=CF．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据菱形得到判定全等的条件．

9.如图，在中，的角平分线交于点D，．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）若，且，求四边形的面积．

【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）4

【分析】

（1）根据DE∥AB，DF∥AC判定四边形AFDE是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠EDA=∠EAD，可得AE=DE，即可证明；

（2）根据∠BAC=90°得到菱形AFDE是正方形，根据对角线AD求出边长，再根据面积公式计算即可．

【详解】

解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AFDE是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠FAD=∠EAD，

∵DE∥AB，

∴∠EDA=∠FAD，

∴∠EDA=∠EAD，

∴AE=DE，

∴平行四边形AFDE是菱形；

（2）∵∠BAC=90°，

∴四边形AFDE是正方形，

∵AD=，

∴AF=DF=DE=AE==2，

∴四边形AFDE的面积为2×2=4．

【点睛】

本题考查了菱形的判定，正方形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．

10.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，．

（1）求证：四边形AOBE是菱形；

（2）若，，求菱形AOBE的面积．

【答案】（1）证明过程见解答；（2）

【分析】

（1）根据BE∥AC，AE∥BD，可以得到四边形AOBE是平行四边形，然后根据矩形的性质，可以得到OA=OB，由菱形的定义可以得到结论成立；

（2）根据∠AOB=60°，AC=4，可以求得菱形AOBE边OA上的高，然后根据菱形的面积=底×高，代入数据计算即可．

【解析】

解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，

∴四边形AOBE是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∴OA=OB，

∴四边形AOBE是菱形；

（2）解：作BF⊥OA于点F，

∵四边形ABCD是矩形，AC=4，

∴AC=BD=4，OA=OC=AC，OB=OD=BD，

∴OA=OB=2，

∵∠AOB=60°，

∴BF=OB•sin∠AOB=，

∴菱形AOBE的面积是：OA•BF==．

【点睛】

本题考查菱形的判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确菱形的判定方法，知道菱形的面积=底×高或者是对角线乘积的一半．

11.如图，点C是的中点，四边形是平行四边形．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）如果，求证：四边形是矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形；

（2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC．

∵点C是BE的中点，

∴BC=CE，

∴AD=CE，

∵AD∥CE，

∴四边形ACED是平行四边形；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，

∵AB=AE，

∴DC=AE，

∵四边形ACED是平行四边形，

∴四边形ACED是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

12.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：AE＝CF；

（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析

【分析】

（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF；

（2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．

【详解】

证明：（1）∵四边形是平行四边形

∴OA＝OC，BE∥DF

∴∠E＝∠F

在△AOE和△COF中

∴

∴AE＝CF

（2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：

如图：连结BF，DE

∵四边形是平行四边形

∴OB＝OD

∵

∴                         

∴四边形是平行四边形

∵EF⊥BD，

∴四边形是菱形

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，菱形的判定等知识点，熟悉相关性质，能全等三角形的性质解决问题是解题的关键．

13.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）连接AF，CE．当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．

【分析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，从而可以得到∠ADE＝∠CBF，然后根据SAS即可证明结论成立；

（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．

【解答】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，∠ADC＝∠CBA，

∴∠ADE＝∠CBF，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，

理由：∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴AC⊥EF，

∵DE＝BF，

∴OE＝OF，

又∵OA＝OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形．

14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．

（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；

（2）求证：AE＝CF．

【分析】

（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．

（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．

【解答】

（1）解：∵AE⊥BD，

∴∠AEO＝90°，

∵∠AOE＝50°，

∴∠EAO＝40°，

∵CA平分∠DAE，

∴∠DAC＝∠EAO＝40°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∠ACB＝∠DAC＝40°，

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEO＝∠CFO＝90°，

∵∠AOE＝∠COF，

∴△AEO≌△CFO（AAS），

∴AE＝CF．

15.如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．

（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；

（2）求证：BE＝DF．

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；

（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD＝180°，

∵CF平分∠DCB，

∴∠BCD＝2∠BCF，

∵∠BCF＝60°，

∴∠BCD＝120°，

∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，

∴∠BAE，∠DCF，

∴∠BAE＝∠DCE，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴BE＝CF．

16.如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．

（1）若AD的长为2，求CF的长．

（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；

（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CF，

∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CE，

在△ADE和△FCE中，，

∴△ADE≌△FCE（AAS），

∴CF＝AD＝2；

（2）∵∠BAF＝90°，

添加一个条件：当∠B＝60°时，∠F＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．

17.如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．

【分析】

（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；

（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．

【解答】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，AD∥CB，

∴∠DAE＝∠BCF，

∵DE∥BF，

∴∠DEF＝∠BFE，

∴∠AED＝∠CFB，

在△ADE和△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF；

（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，

则DE＝BF，

又∵DE∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵BE＝DE，

∴四边形EBFD为菱形．

18.如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BEBC，FDAD，连接BF，DE．

求证：四边形BEDF是平行四边形．

【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∵BEBC，FDAD，

∴BE＝DF，

∵DF∥BE，

∴四边形BEDF是平行四边形．

20.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．

（1）求证：四边形BNDM是菱形；

（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

【分析】

（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，由OB＝OD，证出四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；

（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，OBBD＝12，OMMN＝5，由勾股定理得BM＝13，即可得出答案．

【解答】

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠DMO＝∠BNO，

∵MN是对角线BD的垂直平分线，

∴OB＝OD，MN⊥BD，

在△MOD和△NOB中，，

∴△MOD≌△NOB（AAS），

∴OM＝ON，

∵OB＝OD，

∴四边形BNDM是平行四边形，

∵MN⊥BD，

∴四边形BNDM是菱形；

（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，

∴BM＝BN＝DM＝DN，OBBD＝12，OMMN＝5，

在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM13，

∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．