2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第01讲平面向量的概念及线性运算含解析

这是一份2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第01讲平面向量的概念及线性运算含解析，共14页。试卷主要包含了知识概要，典型例题，易错警示，难题攻略，强化训练等内容，欢迎下载使用。
第01讲 平面向量的概念及线性运算一、知识概要1向量概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫作向量的模平面向量是自由向量零向量长度为0的向量，其方向是任意的记作 单位向量长度等于1的向量非零向量的单位向量为平行向量或共线向量方向相同或相反的非零向量叫作平行向量或共线向量与任一向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反同的向量的相反向量为         2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法两个向量和的运算(1)交换律（2）结合律 减法求与的相反向量的和的运算叫作的差数乘求实数与向量的积的运算(1) (2) 当时, 与同方向; 当时, 与反方向; 当时, (1) (2) (3)  3.共线向量定理向量与向量共线的充要条件是存在唯一的实数,使得.二、典型例题【例1】(1)在平行四边形中,与交于点是线段的中点,的延长线与交于点,若,则).A. B. C. D.(2)如图所示,四边形是以向量,为边的平行四边形,又试用表示.【分析】用已知向量表示另外一些向量时,除利用向量的加减法、数乘等运算外,还应充分利用平面几何的一些定理,在求解过程中,尽可能转化到平行四边形或三角形中去,充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量.【解析】(1)【解法一】 如图所示,,由平行四边形对角线互相平分及【解法二】【例2】记设为平面向量，则（） A. B.C. D.【分析】判断一个命题是假命题,用排除法举出特例极为重要.当排除了多个假命题,真命题就突显出来了,当然仍需要厘清确定真命题的理由(选择题不需要证明,但心中应清楚).【解析】就是分别求两数中较大的数与较小的数,作(如图所示则平行四边形中,当平行四边形为正方形时,错误;当平行四边形是边长为1,且的菱形时,当平行四边形是边长为1,且的菱形时,错误,故选.事实上,当时,当时,;当时，上述不等式也成立.【例3】如图所示,在中,与相交于点,设(1)试用和表示向量;(2)在线段上取一点,在线段上取一点.使过点.设,当为时,,此时;当为时,,此时,有人得出如下结论:不论在线段上如何变动,总成立,试问他的这个结论对吗?请说明理由.【分析】本题是平面向量与平面几何的综合问题,即利用平面向量的共线定理判定.点共线或直线平行,又是从特殊到一般的探索性问题.第(1)小题的题型较为常见,第(2)小题则颇有新意,值得细心品味题中的创意.证明三点共线问题可转化为证明两向量平行,这是数形结合思想的具体体现,但要弄清两向量平行的含义,即两向量所在直线平行或重合时,两向量平行,因此证得两向量平行后,若两向量所在的两直线有公共点,则两直线必重合,从而可得三点共线.【解析】(1)设,则,又三点共线,与共线,同理可得.(2)联立(1)(2),解得.故.（2）他的结论是对的.理由如下：三、易错警示【例】下列命题不正确的是.(1)向量与共线,与共线,则与共线.(2)向量与不共线,与不共线,则与不共线.(3)向量与共线的充要条件是有且只有一个实数,使.(4)向量与向量是共线向量,则必在同一条直线上.【错解】(1)(4)【评析及正解】 命题(1)(4)确实是错误的,但命题(2)(3)也是错误的,问题是对向量的概念理解不深,忽视了特殊向量、零向量,把实数的有些运算无根据地类比到向量中而致错误.正确的解法如下：【解析】命题(1)若与是非零向量,此时满足条件,但与不一定共线,故(1)错误.命题(2)若,则存在一非零向量与均不共线,但与共线,故(2)错误.命题(3)当时,故(3)错误.命题(4)共线向量所在直线可以重合,也可以平行,故(4)也是错误的,故(1)(2)(3)(4)都是假命题.四、难题攻略【例】如图所示,在五边形中,点分别是的中点,和分别是和的中点,求证:.【分析】本题的证明关键是紧紧㧓住向量的中线公式和向量的线性运算进行，为此必须首先构造相应的三角形.【解析】证明:任取一点为的中点.五、强化训练1    如图所示,在中,为上一点,交对角线于点.(1)求证:若点是中点,则点是的三等分点;(2)探索:如果,那么点是否为的等分点?试说明理由.【解析】设其中分别是正实数),则,是的中点，,即是的三等分点.(2)设(其中分别为正实数，则,即是的等分点2         如图所示,是的内角的平分线.求证:【解析】 【解析】证明如图所示,由题意,先证明可以表示成的形式，三点共线,且.即.①其次,寻找用表示的另一种形式.作单位向量.这时,以为邻边的平行四边形是菱形,菱形的对角线平分,且,又平分向量与共线,即.②由①和②可得.又在中,不共线，由此可得.③最后，重新考察,，，④由③和④,得.