江苏省盐城市景山中学2023年九年级中考数学三模试卷

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2023年春学期九年级数学三模试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）

1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．计算a2•a4的结果是（　　）

A．a6 B．a7 C．a8 D．a12

3．用科学记数法表示数0.031，其结果是（　　）

A．3.1×102 B．3.1×10﹣2 C．0.31×10﹣1 D．31×103

4．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“的”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．厉 B．害 C．了 D．国

5．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的面积为（　　）

A．9 B．12 C．15 D．20

6．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（　　）

A．图形的平移 B．图形的旋转 

C．图形的轴对称 D．图形的相似

7.肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1 人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有 225 人感染（225 人可以理解为三轮感染的总人数），若设 1 人平均感染 x 人，依题意可列方程（　　）

A．1+x=225 B．1+x2=225 C．1+(1+x2 )=225 D．(1+x)2=225

8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝54°，则∠ADB等于（　　）

A．42° B．46° C．50° D．54°

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）

9．﹣64的立方根是　   　．

10．已知4m2﹣9n2＝26，2m+3n＝13，则2m﹣3n＝　 　．

11．因式分解： x2  2xy  y2 ▲ ．

12．如图，已知 AB∥CD，∠2＝135°，则∠1 的度数是  ▲ °.

13．如图，已知A为反比例函数（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为2，则k的值为　   　

14．已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式2kx﹣b＜0的解集为　    　．

15．将一个内部直径为20cm、高为10cm的圆柱形水桶内装满水，然后倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸容积的一半　      　cm3．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝13，点E是线段AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠1恰好落在∠BCD的平分线上时，AE的长为 　                　．

三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（6分）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（π﹣）0．

18．（6分）解分式方程：．

19．（8分）如图，网格小正方形的边长都为1，在△ABC中，并判断△ABC的形状．

20．（8分）画出反比例函数y＝﹣的大致图象，结合图象回答：

（1）当x＝2时，y的值；

（2）当1＜x≤4时，y的取值范围；

（3）当﹣1≤y＜4且y≠0时，x的取值范围．

21．（8分）若数a使关于x的分式方程+＝3的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，求符合条件的所有整数a的和．

22．（10分）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）

23．（10分）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP、BP．

（1）求证：BP＝MN；

（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ

24．（10分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程y（km）与各自行驶的时间x（h）之间的关系如图所示．

（1）AB两地相距　    　km，b＝　    　；

（2）求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义；

（3）求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（4）当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程．

25．（10分）某商场计划采购A，B两种不同型号的电视机共50台，已知A型电视机进价1500元，售价2000元；B型电视机进价为2400元，售价3000元．

（1）设该商场购进A型电视机x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．

（2）若该商场采购两种电视机的总费用不超过108300元，全部售出所获利润不低于28500元，请设计出所有采购方案，并求出使商场获得最大利润的采购方案及最大利润．

26．（12分）将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB'，记旋转角为α．连接BB'，过点D作DE垂直于直线BB'，垂足为点E，连接DB'，CE．

（1）如图1，当α＝60°时，△DEB'的形状为　        　，连接BD，可求出的值为　        　．

（2）当0°＜α＜360°且α≠90°时，

①（1）中的两个结论是否成立？若成立，利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；

②当以点B'，E，C，D为顶点的四边形是平行四边形时，求出的值．

27．（14分）如图，坐标系中，矩形ABCD的边BC在y轴上，B（0，8），CD＝5，将矩形ABCD绕点B逆时针旋转使点C落在x轴上．现已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点D、C′和原点O．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将矩形A′BC′D′沿直线BC′翻折，点A′的对应点为M，请判断点M是否在所给抛物线上；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使∠POC′＝2∠CBD，若存在，若不存在，请说明理由．

参考答案

1-8CABAADDA

9.﹣4  10. 2   11.     12. 45  13.﹣4  14. x＞2  15. 2000π  16.

17. 解：原式＝4+1﹣1

＝4．

18. 解：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得

2x（x+1）﹣3（x﹣1）＝2（x+1）（x﹣1），

解得x＝5．

检验：把x＝5代入（x+1）（x﹣1）＝24≠0．

∴原方程的解为：x＝5

19.解：如图，△ABC的中线BM．

∵AC＝＝2＝2，

∴AC＝AB，

∴△ABC是等腰三角形．

20. 解：作出反比例函数y＝﹣的图象，

（1）把x＝2代入得：y＝﹣＝﹣2；

（2）当x＝4时，y＝﹣4，y＝﹣1，

根据图象得：当3＜x≤4时，y的取值范围为﹣4＜y≤﹣5；

（3）当y＝﹣1时，x＝4，x＝﹣7，

根据题意得：当﹣1≤y＜4且y≠8时，x的取值范围为x＜﹣1或x≥4．

21.解：分式方程的两边都乘以（x﹣1）得：2﹣a＝3（x﹣1），

解得，

∵x﹣1≠0，

∴，

∴a≠2，

∵方程的解为正数，

∴，

∴a＜5且a≠2；

，

解不等式①得：y＜﹣2，

解不等式②得：y≤a，

∵不等式组的解集为y＜﹣2，

∴a≥﹣2．

∴﹣2≤a＜5且a≠2

∴整数a的和为（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4＝5．

22.解：如图，过点D作DH⊥AC于点H，

在Rt△DCH中，∠C＝37°，

∴CH＝，

在Rt△DBH中，∠DBH＝45°，

∴BH＝，

∵BC＝CH﹣BH，

∴﹣＝6，

解得DH≈18km，

在Rt△DAH中，∠ADH＝26°，

∴AD＝≈20km．

答：轮船航行的距离AD约为20km．

23.解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，

在△ABM和△BCP中，

，

∴△ABM≌△BCP（SAS），

∴AM＝BP，

∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，

∴AM＝MN，

∴BP＝MN；

（2）解：∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠AMB+∠CMQ＝90°，

∴∠BAM＝∠CMQ，

又∵∠ABM＝∠C＝90°，

∴△ABM∽△MCQ，

∴，

∵△MCQ∽△AMQ，

∴△AMQ∽△ABM，

∴，

∴，

∴BM＝MC．

24.解：（1）由图象可知：AB两地相距540km，

乙在3h时与甲相遇，然后乙车立即以原速原路返回到B地，

∴b＝3+3＝6，

故答案为：540，6；

（2）由题意知：（km/h），

∴（100+v乙）×3＝540，

∴v乙＝80（km/h），

∴y＝80×3＝240，

∴E（3，240），

点E的实际意义为：甲、乙两车出发3小时后在距离B地240km处相遇；

（3）当0＜x≤3时，图象过原点和E点，

∴y＝kx，

把E（3，240）代入得：240＝3k，

解得：k＝80，

∴y＝80x，

当3＜x≤6时，设y＝kx+b，

把（3，240）和（6，0）代入得，

，

解得：，

∴y＝﹣80x+480，

综上：y＝；

（4）x＝5.4时，代入y＝﹣80x+480得，

y＝80×（6﹣5.4）＝48（km），

∴乙车距离B地的路程为48km，

答：乙车距离B地的路程为48km．

25.解：（1）由题意得：y＝（2000﹣1500）x+（3000﹣2400）×（50﹣x）＝﹣100x+30000，

∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为：y＝﹣100x+30000．

（2）由题意和（1）得：，

解得：13≤x≤15，

∵x为正整数，

∴x＝13、14、15，

共有三种采购方案：①甲型13台，乙型37台，②甲型14台，乙型36台，③甲型15台，乙型35台，

∵﹣100＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x取最小值时，y有最大值，

即x＝13时，y最大值＝﹣100×13+30000＝28700，

∴采购甲型电视机13台，乙型电视机37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元．

答：采购甲型电视机13台，乙型电视机37台时商店获得最大利润，最大利润是28700元．

26.解：（1）如图1，

∵AB绕点A逆时针旋转至AB′，

∴AB＝AB'，∠BAB'＝60°，

∴△ABB'是等边三角形，

∴∠BB'A＝60°，

∴∠DAB'＝∠BAD﹣∠BAB'＝90°﹣60°＝30°，

∵AB'＝AB＝AD，

∴∠AB'D＝∠ADB'，

∴∠AB'D＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠DB'E＝180°﹣60°﹣75°＝45°，

∵DE⊥B'E，

∴∠B'DE＝90°﹣45°＝45°，

∴△DEB'是等腰直角三角形．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BDC＝45°，

∴，

同理，

∴，

∵∠BDB'+∠B'DC＝45°，∠EDC+∠B'DC＝45°，

∴∠BDB'＝∠EDC，

∴△BDB'∽△CDE，

∴＝，

故答案为：等腰直角三角形，；

（2）①两结论仍然成立．

证明：连接BD，

∵AB＝AB'，∠BAB'＝α，

∴∠AB'B＝90°﹣，

∵∠B'AD＝α﹣90°，AD＝AB'，

∴∠AB'D＝135°﹣，

∴∠EB'D＝∠AB'D﹣∠AB'B＝135°﹣α﹣（90°）＝45°，

∵DE⊥BB'，

∴∠EDB'＝∠EB'D＝45°，

∴△DEB'是等腰直角三角形，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，∠BDC＝45°，

∴，

∵∠EDB'＝∠BDC，

∴∠EDB'+∠EDB＝∠BDC+∠EDB，

即∠B'DB＝∠EDC，

∴△B'DB∽△EDC，

∴＝．

②＝3或1．

如图3，若CD为平行四边形的对角线，

点B'在以A为圆心，AB为半径的圆上，取CD的中点．连接BO交⊙A于点B'，

过点D作DE⊥BB'交BB'的延长线于点E，

由（1）可知△B'ED是等腰直角三角形，

∴B'D＝B'E，

由（2）①可知△BDB'∽△CDE，且BB'＝CE．

∴＝＝+1＝+1＝+1＝3；

若CD为平行四边形的一边，如图4，

点E与点A重合，

∴．

综上，＝3或1．

27.解：（1）由旋转得BC′＝BC＝10，

∵OB＝8，∠BOC′＝90°，

∴OC′＝＝6，

∴C′（6，6），

∵OC＝10﹣8＝2，CD＝6，

D（5，﹣2）；

把O（6，0），0），﹣8）代入y＝ax2+bx+c，

得，解得，

∴抛物线的解析式为）．

（2）点M不在所给抛物线上．

理由：如图6，作ME⊥y轴于点E，

∵∠EMB＝90°﹣∠EBM＝∠OBC′，

∴＝sin∠OBC′＝，

∵BM＝CD＝3，

∴BE＝×3＝3，

∴EM＝＝4，

∴M （﹣4．

当x＝﹣4时，y＝2﹣×（﹣4）＝16≠5，

∴点M不在所给抛物线上．

（3）如图2，作C′F平分∠OC′B交OB于点F，则OF＝GF＝BF•sin∠OBC′＝，

∴BF＝OF，

∴OF+OF＝8，

解得OF＝3；

∴，

∵tan∠OC′F＝tan∠CBD＝，

∴∠OC′F＝∠CBD，

∴∠OC′B＝2∠CBD．

①取BC′中点Q，作射线OQ交抛物线于另一点P1，

∵OQ＝BC＝C′Q，

∴∠P1OC′＝∠OC′B＝6∠CBD．

设直线OQ的解析式为y＝px，

∵Q（3，4），

∴2p＝4，

∴P＝，

∴y＝x．

由，得，，

∴P1（，）；

②过点O作OP2∥BC′交抛物线于另一点P3，则∠P2OC′＝∠OC′B＝2∠CBD．

设直线BC′的解析式为y＝rx+3，则6r+8＝7，

∴y＝x+8，

∴直线OP2的解析式为y＝x，

由，得，，

∴P3（，）．

综上所述，抛物线上存在使∠POC′＝∠OC′B的点P，）或（，）．