2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二上学期第一次月考试题数学含答案

2024届高二年级第一次月考数学试卷

一、单选题

1．已知集合，，，则集合，，的关系为（    ）

A． B． C． D．，

2．若，则下列式子成立的是（    ）

A． B．

C． D．

3．已知向量 ，满足， ，，则（ ）

A． B． C． D．

4．已知是方程的两个根，则（    ）

A． B．1 C． D．2

5．已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则

A． B． C． D．

6．已知矩形ABCD中，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ）

A． B． C． D．

7．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等于（  ）

A．20π B．10π C．5π D．5π

8．对于函数和，设，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知复数，则下列说法正确的是（    ）

A．复数在复平面内对应的点在第四象限  B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数     D．复数的模

10．已知一组样本数据，其中，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中，则（    ）．

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本方差相同

C．，，…，样本数据的第30百分位数为

D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为5

11．下列选项中正确的是（    ）

A．若平面向量，满足，则的最大值是5；

B．在中，，，O是的外心，则的值为4；

C．函数的图象的对称中心坐标为

D．已知P为内任意一点，若，则点P为的垂心；

12．“奔跑吧少年”青少年阳光体育系列赛事活动于近日开赛，本次比赛的总冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积，托盘由边长为4的正三角形钢片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②则下列结论正确的是（    ）

A．直线与平面所成的角为

B．直线平面

C．异面直线与所成的角的余弦值为

D．球上的点离球托底面的最大距离为

三、填空题

13．计算的结果为______.

14．已知正实数满足，则的最小值为___________.

15．如图，在棱长为1的正方体中，点、是棱、的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为__________.

16．已知函数的图象关于直线对称，且对都有，当时，.则___________.

四、解答题

17．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知

(1）求的值；

(2）若，求边c的值.

18．在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回.①若取出的两个小球上数字之积大于8，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则奖励饮料一瓶.

(1)求每对亲子获得飞机玩具的概率；

(2)试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由.

19．已知函数（，）.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，条件①：的最大值为1；条件②：的一条对称轴是直线；条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为.求：

(1)求函数的解析式；并求的单调递增区间、对称中心坐标；

(2)若将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移单位，得到函数的图象，若在区间上的最小值为，求m的最大值.

20．如图，AB 是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点.

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，求证：直线l//平面PAC；

(2)若PC=AB=2，点C是的中点，求二面角E-l-C的正弦值.

21．在中，内角，，所对的边分别为，，，为上一点，，．

(1)若，求；

(2)若，当面积取最小值时，求的值．

22．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点.

(1)证明：.

(2)在直线BC上是否存在点，使得直线AF与平面ABP所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

2024届高二年级第一次月考数学试卷答案

BADBC  CAB

9.BD  10.BC  11.ABD  12.ACD

13. 【答案】  14. 【答案】8  15. 【答案】  16. 【答案】

17. 【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，并根据sinA的值不为0，即可求出cosA的值；

（2）由第一问求出的cosA的值及A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得出B+C的度数，用B表示出C，代入已知的等式中，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（B+）的值，由A的度数求出B+的范围，利用特殊角的三角函数值得出B的度数，根据锐角三角函数定义即可求出c的值．

【详解】（1）由及正弦定理得

即

又所以有即

而，所以

(2）由及0＜A＜，得A＝ 因此

由得

即，即得

由知于是或

所以，或

若则在直角△ABC中，，解得

若在直角△ABC中，解得

【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：

第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.

第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.

第三步：求结果.

18. 【答案】(1)

(2)每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率，理由见解析

【分析】（1）根据古典概型的方法，列举所有可能的情况，再分析满足条件的情况求解即可；

（2）分别列举事件的样本点，求出概率再比较大小即可.

（1）

样本空间Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}共16个样本点.

记“获得飞机玩具”为事件A，事件A包含的样本点有（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共4个.

故每对亲子获得飞机玩具的概率为

（2）

同（1），记“获得汽车玩具”为事件B，记“获得饮料”为事件C.

事件B包含的样本点有

（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，2），（4，1），（4，2）共7个.

所以，

事件C包含的样本点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）共5个，

所以.

所以P（B）>P（C），即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率.

19. 【答案】(1)；（）；（）

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角将化为，然后根据函数性质选择条件求出和，进而得到，再利用整体思想和正弦函数的单调性、对称性进行求解；

（2）利用函数平移变换得，利用函数的性质得到进行求解.

（1）

，

当选条件①时，，解得；

当选条件②时，，

显然条件②不合理；

当选条件③时，，即，

解得；

综上所述，条件①③能确定函数解析式，

且；

令，

得，

所以函数的单调递增区间为（）；

令，得，，

所以函数的对称中心坐标为，；

（2）

将函数图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，

得到的图象，再向右平移单位，

得到函数的图象，

即；

因为，所以，

因为在区间上的最小值为，

所以，解得.

所以的最大值为.

20. 【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用三角形中位线的性质，结合线面平行的判定、性质推理作答.

（2）以点C为原点，射线CA，CB，CP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.

（1）

因E，F分别是PA，PC的中点，则EF//AC，而AC平面ABC，EF平面ABC，因此EF//平面ABC，

又EF平面BEF，平面BEF与平面ABC的交线为l，则EF//l，又l平面PAC，EF平面PAC，

所以l//平面PAC.

（2）

AB是圆O的直径，点C是的中点，AB=2，则CA⊥CB，又直线PC⊥平面ABC，即有CP，CA，CB两两垂直，

以点C为原点，射线CA，CB，CP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

而，则，，

设平面EFB的法向量，则，令y=1，得，

显然是平面ABC的一个法向量，则，

所以二面角E-l-C的正弦值为.

21. 【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用正余弦定理及三角形内角性质求；

（2）利用等面积法结合基本不等式可得面积取最小值时，再由余弦定理即可得解.

（1）

令，又，

所以，即，

则，即，

又，则，故.

（2）

由三角形面积公式可得，

且，

所以，即，

即，当且仅当时，等号成立，此时面积取最小值，

此时，，

所以当面积取最小值时，.

22. 【答案】(1)证明见解析

(2)存在，或1

【分析】(1)作于 ，根据勾股定理分别可求得，的值，只需证得，即可求出，即可得出为等腰三角形，从而可得.

(2)建立空间直角坐标系，利用坐标法即可求解.

（1）

证明：作于 ，由平面平面ABC，且平面平面，得平面，∴.

∵，，，由勾股定理得，

所以，

∴，，.

在直角三角形中，由勾股定理可得.

又.∴.

（2）在平面内，过点作，垂足为点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

∴，，，，，设，

∴，.

设是平面的法向量，

∴，取，得，

又.

设直线与平面所成的角为，

∴，

化简得，解得或.当时，（在线段上）；

当时，（在线段的延长线上）

∴存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或1.