2022-2023学年江西省宜春市上高二中高二上学期第二次月考试题数学含答案

2024届高二年级第二次月考数学试卷

命题人：    

一．选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知不等式的解集为,则不等式的解集为(   )

A. 或 B.

C.  D. 或

2. 若复数，则的虚部是（    ）

A. i B. 2i C. 1 D. 2

3. 已知向量、满足， 与的夹角为，则（　　）

A.  B.  C.  D. 、

4.若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

5. 已知曲线，曲线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A. 将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得到

B. 将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的倍得到

C. 将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍得

D. 将曲线先向右平移个单位长度，再将各点的横坐标伸长为原来的倍得到

6. 在锐角中，，，分别为三边，，所对的角，若，且满足关系式，则的取值范围是（     ）

A.  B.   C.  D.

7．如图，正方体中，，，， 当直线与平面所成的角最大时，（       ）

A．        B．        C．        D．

8．已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

9. 若，，，则的可能取值有（   ）

A.  B.  C.  D.

10. 若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（    ）A.  B.  C. 0 D. 1

11. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（       ）

A．直线过定点

B．圆的圆心坐标为

C．直线与圆的相交弦的最小值为

D．直线与圆的相交弦的最大值为4

12．如图，已知P为棱长为1的正方体对角线上的一点，且，下面结论中正确结论的有（    ）

A．；

B．当取最小值时，；

C．若，则；

D．若P为的中点，四棱锥的外接球表面积为．

三．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

 13. 已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是______．

14. 设偶函数的部分图象如图所示，为等腰直角三角形， 则的值为_________．

15．已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是___________.

16. 如图，在正四棱锥中，，点为的中点，．若，则实数_____

四．解答题（本题共6个小题，第17题10分，其他12分，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17. 已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位，得到函数的图象，求函数在的值域.

18. 在中，内角，，的对边长分别为、、，且为.

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值.

19. 已知圆过点、，且圆周被直线平分．

（1）求圆的标准方程；

（2）已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．

20.如图，在四棱锥中，，，，，，.

（1）证明：平面.

（2）若为中点，求二面角的大小.

21.已知圆：与：相交于A、B两点．

(1)求公共弦AB所在的直线方程；

(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；

(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．

22．已知三棱柱中，.

（1）求证: 平面平面.

（2）若，在线段上是否存在一点使平面和平面所成角的余弦值为若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.

2024届高二年级第二次月考数学试卷答案

ACCAA  DCA

9.CD  10.AC  11.ACD  12.ABD

13.  14.  15.  16.4

17.【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）通过降幂公式和辅助角公式将函数f（x）化简，进而求出单调递减区间；

（2）先通过图象变换求出函数g（x），进而通过降幂公式和辅助角公式将函数h（x）化简，进而求出函数的值域. 【详解】（1），

令则

∴函数的单调递减区间为：.

（2）将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，再将图象向左平移个单位，得到的图象，

∴，

∵，∴，∴，

∴，即的值域为：.

18.【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合辅助角公式可整理得，根据角所处的范围可求得，求得；（2）利用余弦定理构造等式，结合基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.

（1）由及正弦定理可得：

        ，即：

        ，解得：

（2）由余弦定理得：

（当且仅当时取等号）

，即面积的最大值为

【点睛】本题考查解三角形相关知识，涉及到利用正弦定理进行边角互化、利用余弦定理和基本不等式求解三角形面积的最大值的问题，属于常考题型.

19.【答案】（1）    （2）或

【分析】（1）根据题意可知直线过圆心，AB的垂直平分线也过圆心，求出其方程后与已知直线方程联立，求出圆心坐标及半径，便可写出圆的标准方程.

（2）根据垂径定理求出点到直线的距离，斜率存在时设直线方程为，利用点到直线距离公式求得，求出直线方程，斜率不存在.

【小问1详解】

解：由题意得：

∵，，且直线过圆心

∴AB的中点坐标为  又

∴AB的垂直平分线方程为，即

联立，解得

∴圆C的圆心坐标为，

则圆C的标准方程为．

【小问2详解】当斜率存在时，设直线方程为，即．

圆心，到直线的距离解得

∴直线l方程为

当斜率不存在时，也满足条件

则直线l的方程为或．

20.【答案】（1）证明见解析    （2）

【解析】（1）证明：由题可知为等边三角形，所以，.

在中，由余弦定理得，

所以，所以.

因为，且，所以平面.

因为平面，所以.因为，且相交，

所以平面.

（2）以为坐标原点，以，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系则，.

设平面的法向量为，

则令，得.

取平面的一个法向量为，则.

由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.

21.【答案】(1)x－2y＋4＝0 (2) (3)

【分析】（1）两圆相减，可得公共弦所在直线方程；

（2）首先设圆系方程（为常数），根据圆心在直线上，求，即可求得圆的方程；

（3）面积最小的圆，就是以线段AB为直径的圆，即可求得圆心和半径.

（1）将两圆方程相减得x－2y＋4＝0，此即为所求直线方程．

（2）设经过A、B两点的圆的方程为（为常数），则圆心坐标为；又圆心在直线y＝－x上，故，

解得，故所求方程为．

（3）由题意可知以线段AB为直径的圆面积最小．两圆心所在直线方程为2x＋y＋3＝0，

与直线AB方程联立得所求圆心坐标为，由弦长公式可知所求圆的半径为．

故面积最小的圆的方程为．

22.【答案】（1）证明见解析；（2）在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点.

【解析】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，

而，则是菱形，连接，如图，则有，

因，，平面，

于是得平面，

而平面，则，

由得，，平面，

从而得平面，又平面，

所以平面平面.

（2）在平面内过C作，

由（1）知平面平面，平面平面，

则平面，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴，

建立空间直角坐标系，如图，

因，，

则，

假设在线段上存在符合要求的点P，

设其坐标为，

则有，

设平面的一个法向量，

则有，令得，

而平面的一个法向量，

依题意，，

化简整理得：

而，解得，

所以在线段上存在一点，且P是靠近C的四等分点，

使平面和平面所成角的余弦值为