2022-2023学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二4月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二4月月考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二4月月考数学试题 一、单选题1．已知等比数列的各项均为正数，公比，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可求得，即可解得，然后即可求出答案.【详解】由，得，即，所以.又，所以，.故选：C.2．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解不等式可得出，然后根据补集的运算求出，进而根据交集的运算，即可得出答案.【详解】解可得，或，所以，所以.解可得，根据指数函数的单调性可知，，所以，所以，.故选：D.3．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的物理意义，求导即可得到瞬时速度.【详解】解：，当时，.故选：C.4．若二项式的展开式中所有二项式系数之和为32，则含项的系数是（    ）A．80 B．-80 C．40 D．-40【答案】A【分析】根据题意，可得，然后结合二项式的通项公式即可得到结果.【详解】由题知，解得，则为，通项公式为，所以二项式的展开式中含项的系数为.故选：A.5．2023年1月31日，据“合肥发布”公众号报道，我国最新量子计算机“悟空”即将面世，预计到2025年量子计算机可以操控的超导量子比特达到1024个.已知1个超导量子比特共有2种叠加态，2个超导量子比特共有4种叠加态，3个超导量子比特共有8种叠加态，，每增加1个超导量子比特，其叠加态的种数就增加一倍.若，则称为位数，已知1024个超导量子比特的叠加态的种数是一个位的数，则（    ）（参考数据：）A．308 B．309 C．1023 D．1024【答案】B【分析】由已知可推得当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边同时取以10为底的对数，根据对数的运算性质可得，根据已知数据，即可得出答案.【详解】根据题意，得个超导量子比特共有种叠加态，所以当有1024个超导量子比特时共有种叠加态.两边取以10为底的对数得，所以.由于，故是一个309位的数，即.故选：B.6．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因为，所以有，解得.故选：C.7．设等差数列满足，，且，，则（    ）A．10100 B．10000 C．9900 D．9801【答案】A【分析】由已知可求出等差数列的公差，进而得出，，累加法求解可得，即可得出答案.【详解】设等差数列的公差为，由可得，，解得，所以.则，所以当时，有，当时，，满足上式，所以，所以.故选：A.8．已知，直线与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，与的交点为C.当四边形OACB的面积取最小值时，点B到直线的距离是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出直线所过定点为得C点坐标，再求出A，B点坐标，写出四边形面积，利用均值不等式求最小值，确定时，再由点到直线距离求解即可.【详解】如图，直线，都过点，即点C的坐标是.在中，令，得，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立.所以当时，四边形OACB的面积取最小值.此时，点B的坐标为，直线的方程是，点B到直线的距离是.故选：B. 二、多选题9．下列运算错误的是（   ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用基本初等函数的求导公式，逐项计算判断作答.【详解】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：AC10．已知数列的前项和为，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】依次求出数列的前几项，观察可知数列是周期数列，周期是3.根据数列的周期性，即可求出答案.【详解】对于A项，因为，所以，故A项正确；对于B项，因为，所以，故B项错误；对于C项，因为，所以，，，观察可知，所以数列是周期数列，周期是3，则，故C项正确；对于D项，，故D项正确.故选：ACD.11．已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（    ）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C． D．【答案】AD【分析】根据与的关系，即可推得，变形可得，即可得出A项；根据时，求出，即可得出，求出，即可判断B、C项；代入裂项可得，然后求和即可得出D项.【详解】对于A项， 由，得，两式相减，得，整理可得，所以，故A正确；对于B项，当时，，解得，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以，所以，，显然数列不是等比数列，故B错误；对于C项，由B知，，所以，故C错误；对于D项，，所以，故D正确.故选：AD.12．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列，，记，其中表示不超过的最大整数，如，则（    ）A．B．当时，C．当时，D．【答案】BCD【分析】对A：由成等比数列及，求得的通项公式；对BC：讨论的奇偶性可并项求和；对D：对分段讨论求再求和.【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，，得，解得，所以，故错误；，当时，，所以，故B正确；当时，，所以，故C正确；，当且时，；当且时，；当且时，；当时，.所以，故D正确.故选：BCD. 三、填空题13．已知函数的导函数为，若，则______.【答案】【分析】对求导，令导数的，即可计算解出.【详解】，则，，解得，故答案为：.14．在公差不为的等差数列中，为其前项和，若，则正整数___________.【答案】【分析】利用等差数列通项公式和求和公式可直接构造等式求得的值.【详解】设等差数列的公差为，由得：，即，，解得：.故答案为：.15．若曲线与曲线在公共点处有相同的切线，则实数__________.【答案】【分析】令，，公共点为，结合导数几何意义可构造方程组，由此可解得，进而求得的值.【详解】令，，则，；设与的公共点为，与在公动点处有相同的切线，，即，，解得：，，解得：.故答案为：.16．某集团第一年年初给下属企业甲制造厂投入生产资金万元，到年底资金增长了，以后每年资金年增长率与第一年相同.集团要求甲制造厂从投入生产资金开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底甲制造厂上缴资金后的剩余资金为万元，若，则正整数的最小值为_____________.（取，）【答案】【分析】根据与的关系可推导证得数列为等比数列，利用等比数列通项公式可得，进而解不等式可求得的范围.【详解】由题意知：；当时，，，又，数列是以为首项，为公比的等比数列，，则，令，则，，解得：，正整数的最小值为.故答案为：. 四、解答题17．已知数列是由正数组成的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等比数列通项得，解出，的值，即可得出其通项；（2），分组求和即可.【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.18．已知函数，且.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）由已知可得，根据已知求出，代入可得.根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程，整理即可得出答案；（2）由（1）知，.解以及，即可得出函数的单调区间.【详解】（1）由已知可得，所以，解得，所以，所以.根据导数的几何意义可知函数的图象在点处的切线斜率，所以切线方程为，即.（2）由（1）知，.令，得或.解可得，或，所以在上单调递增，在上单调递增；解可得，，所以在上单调递减.所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.19．已知数列 中 ，，.(1)求证：是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意得，结合等比数列定义证明数列是等比数列；（2）由（1）可求即，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以，又，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列（2）由(1)知 ，因为，所以，所以 ， ，两式相减，得 ，所以 20．《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）.相关数据表明，入睡时间越晩，深睡时间越少，睡眠指数也就越低.已知凌晨1点后入睡的人群为晩睡人群.某调研机构对1000名晩睡人群进行了调查，将得到的睡眠指数按分组，绘制出如图所示的频率分布直方图.规定：睡眠指数不低于60为及格.(1)将频率视为概率，从这1000名晩睡人群中随机抽取2人，求这2人中只有1人的睡眠指数及格的概率；(2)此调研机构用比例分配的分层随机抽样方法从这1000名晩睡人群中抽取10名，再从抽取的10名晩睡人群中随机抽取3名，用表示这3人中睡眠指数及格的人数，求的分布列及数学期望.【答案】(1)0.42(2)分布列见解析， 【分析】(1)根据二项分布即可求解.(2)根据超几何分布即可求解.【详解】（1）睡眠指数及格的频率是，所以任意抽取1人，其睡眠指数及格的概率为0.3，设这2人中只有1人的睡眠指数及格为事件，则.（2）用比例分配的分层随机抽样方法从这1000名晩睡人群中抽取10名，这10名晩睡人群中，睡眠指数及格的人有3人，所以的取值可以是，，，所以随机变量的分布列为：0123所以.21．已知数列的前项和为，数列的前项积为，且.(1)求的通项公式；(2)若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据关系求得的通项公式，根据关系求得的通项公式；（2）常数分离得，使用作差法判断的单调性并求得最大值，从而得到的取值范围.【详解】（1）由，得，两式相减，得，所以，又，所以，当时，，所以，所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以.当时，；当时，，满足上式.所以.（2）由，得，即，设，则，当时，，所以，即，又，所以，所以，解得，即实数的取值范围是.22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为，原点到直线的距离是．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知直线与椭圆相切，切点在第二象限，过点作直线的垂线，交椭圆于，两点（点在第二象限），直线交轴于点，若，求直线的方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出直线的方程，由原点到直线的距离是，列方程解出，进而求出椭圆的标准方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，令，解出和切点的坐标；由已知，直线的方程为，与椭圆方程联立，可得的坐标；由于与的面积相等，且，可得，结合列方程，求出，得到直线的方程．【详解】（1）因为点，且直线的倾斜角为，所以直线的方程为，所以，即又原点到直线的距离是，所以，所以，所以椭圆的方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，则直线的方程为．联立，消去，化简得．因为直线与椭圆相切，所以，即，化简得，且切点为．联立，消去，得，解得，所以，．因为为的中点，所以与的面积相等，又，所以，所以，即．所以，即．又，所以，解得．因为，，所以，，故直线的方程为．