2022-2023学年贵州省三联教育集团高二上学期质量检测考试（二）数学试题含解析

这是一份2022-2023学年贵州省三联教育集团高二上学期质量检测考试（二）数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年贵州省三联教育集团高二上学期质量检测考试（二）数学试题 一、单选题1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定方程求出直线的斜率，再由斜率的定义直接计算作答.【详解】直线的斜率为，设这条直线的倾斜角为，显然，则，解得，所以直线的倾斜角为.故选：B2．，，若，则（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据给定条件，利用空间向量共线求出m，n的值作答.【详解】因为，，，则存在，使得，即，于是，解得，所以.故选：C3．斜率为2，且过直线和直线交点的直线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出两直线的交点坐标，根据点斜式可得结果.【详解】联立，解得，所以两直线的交点坐标为，所求直线方程为.整理为.故选：A【点睛】本题考查了求两直线的交点，考查了直线方程的点斜式，属于基础题.4．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（    ）A．20 B．36 C．64 D．100【答案】B【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴知，半焦距，依题意，的周长为.故选：B5．已知圆：平分圆：的周长，则（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】利用圆的圆心在两圆的公共弦上求解．（两圆方程相减可得公共弦所在直线方程）．【详解】由圆：平分圆：的周长可知，圆经过圆的一条直径的两个端点，所以圆的圆心在圆与圆的公共弦上，两圆方程相减整理得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，又圆心，所以，所以，故选：C.6．在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（    ）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体中，，所以.故选：A.7．已知曲线与直线只有一个交点，则实数的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得，将代入中，得到，再根据判别式为零得到的值即可．【详解】由，得．表示下半圆，表示过的直线，要使两图象有一个交点 必须判别式为零，将代入中，可得，曲线与直线只有一个交点，△，，，，，当时，与，矛盾，．故选：．8．已知双曲线的左，右焦点为，P为双曲线右支上的一点，，I是的内心，则下列结论错误的是（    ）A．是直角三角形 B．点I的横坐标为1C． D．的内切圆的面积为【答案】D【分析】由双曲线的定义得，，设，由余弦定理可求解，即可判断出，再由等面积法计算内接圆的半径，即可得点的坐标和面积，写出点坐标，利用距离公式可求解出.【详解】由已知可得，，设，则，得，所以，即，所以，所以A正确；设内接圆半径为，则，得，所以I的坐标为，面积为所以B正确，D错误；由题意，，所以C正确；故选：D. 二、多选题9．已知向量，则下列结论不正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【详解】解：向量，，，，故正确；，1，，故错误；，故错误；，故正确．故选：．10．对于直线：，下列说法错误的是（    ）A．直线恒过定点B．直线斜率必定存在C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为D．时直线的倾斜角为【答案】BD【分析】求出过的定点判断A；根据m的取值情况判断B；当时，求出直线的横纵截距计算判断C；当时，求出直线的斜率判断D作答.【详解】对于A，直线：恒过定点，A正确；对于B，当时，直线：垂直于x轴，倾斜角为，斜率不存在，B错误；对于C，当时，直线：与x轴、y轴分别交于点，此时直线与两坐标轴围成的三角形面积为，C正确；对于D，当时，直线：的斜率，因此倾斜角为，D错误.故选：BD11．已知圆：与直线：，下列选项正确的是（    ）A．直线与圆不一定相交B．当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1C．当时，圆关于直线对称的圆的方程是D．圆心到直线距离的最大值为5【答案】AB【分析】利用直线l经过的定点与圆的关系判断A；利用圆心到直线l距离小于5判断B；求出圆心关于l的对称点判断C；求出圆心到l的距离最大值判断D作答.【详解】显然直线：过定点，圆：的圆心，半径，对于A，，即点在圆外，因此直线与圆不一定相交，A正确；对于B，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1，当且仅当点到直线的距离小于5，因此，解得，即B正确；对于C，当时，直线：，令圆心关于的对称点为，则，解得，因此圆关于直线对称的圆的方程是，C错误；对于D，由选项A知，，当且仅当直线时，圆心到直线距离取得最大值，D错误.故选：AB12．抛物线：的焦点为，为其上一动点，设直线与抛物线相交于，两点，点，下列结论正确的是（    ）A．的最小值为3B．抛物线上的动点到点的距离最小值为3C．不存在直线，使得，两点关于对称D．若直线过焦点，则（为坐标原点）的面积的最大值为2【答案】AC【分析】根据抛物线定义计算最小值判断A；利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值判断B；利用对称思想探求直线的条件判断C；设出直线方程，求出面积关系判断D作答.【详解】对于A，设是抛物线的准线，过作于，则，当且仅当三点共线时等号成立．所以最小值是3，A正确；对于B．设是抛物线上任一点，即，，当时，，B错误；对于C，假设存在直线，使得A，B两点关于对称，设方程为，由得，于是，即，设，则，中点为，则，，必在直线上，即，，与矛盾，因此直线不存在，C正确；对于D，显然点，直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去y得：，设，则，于是的面积，当且仅当时取等号，因此的面积有最小值2，无最大值，D错误.故选：AC 三、填空题13．已知向量，，若，则________.【答案】1【分析】根据给定条件，求出及，再利用垂直关系的向量表示求解作答.【详解】向量，，则，，由得：，所以.故答案为：114．在平面直角坐标系中，点到直线的距离，类比可得在空间直角坐标系中，点到平面的距离为______．【答案】5【分析】把平面点到直线距离公式类比到空间点到平面的距离公式：点，平面方程，距离．由此计算．【详解】类比可得点到平面的距离．故答案为：5．15．已知圆： ，为圆上任一点，则的最大值为________.【答案】【分析】设，得到直线方程为，根据条件得到直线与圆有公共点，转化为圆心到直线的距离小于等于半径，从而得到关于不等式，即可求解.【详解】设，则，即直线方程为，因为为圆上任一点，则圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值为，故答案为：.16．已知点为椭圆上的动点，为圆的任意一条直径，则的最大值是__________．【答案】【分析】设点，则且，计算得出，再利用二次函数的基本性质即可求得的最大值.【详解】解：圆的圆心为，半径长为，设点，由点为椭圆上的动点，可得：且，由为圆的任意一条直径可得：，，，，，当时，取得最大值，即.故答案为：. 四、解答题17．已知向量，，．(1)当时，求实数x的值；(2)若向量与向量，共面，求实数x的值．【答案】(1)或.(2). 【分析】（1）由空间向量的坐标运算，建立方程，求解即可；（2）设，根据空间向量的坐标线性运算建立方程组，求解即可．【详解】（1）解： ，因为，所以，即，解得或；（2）解：因为向量与向量，共面，所以设．因为，，所以所以实数x的值为.18．已知的顶点，AC边上的高BD所在直线方程为．AC边上的中线BE所在直线方程为．(1)求点B的坐标；(2)求点C的坐标及BC边所在直线方程．【答案】(1)；(2)；. 【分析】（1）解直线BD与直线BE的方程组成的方程组，即可得点B的坐标.（2）求出直线AC的方程，与直线BE的方程联立求出点E的坐标，再利用中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出直线BC方程作答.【详解】（1）依题意，点B是直线BD与直线BE的交点，由解得，所以点B的坐标是.（2）因，则设直线AC的方程为，而点，则，解得，直线AC：，由解得，于是得边AC的中点，因此点C的坐标为，直线BC的方程为，即，所以点C的坐标为，BC边所在直线方程.19．已知圆的圆心在直线：上，且过点和.(1)求圆的方程；(2)求证：直线：，与圆恒相交.【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标及半径作答.（2）求出直线过的定点，再判断该定点与圆的位置关系作答.【详解】（1）因为圆过点和，则圆心在线段的中垂线上，线段的中点，直线的斜率为，因此线段的中垂线方程为，即，由，解得，则点，圆半径，所以圆的方程为.（2）直线：，即，，由解得，因此直线恒过定点，而，则点在圆内，所以直线与圆恒相交.20．已知双曲线的右焦点与抛物线：的焦点重合，且双曲线的一条渐近线为：．(1)求双曲线的方程；(2)若过点且与平行的直线交抛物线于，两点，求线段的长．【答案】(1)；(2)32. 【分析】（1）根据题意，求出抛物线的交点，结合双曲线焦点的位置，以及渐近线方程，即可求解；（2）根据题意，求出直线的方程，联立方程组，结合韦达定理与抛物线焦点弦的公式，即可求解.【详解】（1）根据题意，易知抛物线E的焦点为，故可设双曲线C的方程为，且，因为双曲线的一条渐近线为，所以，解得，，故双曲线C的方程为.（2）由已知，可得直线m的方程为，设，，联立，消去y，整理得，故，因此线段AB的长为．21．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面底面，.(1)证明：平面平面；(2)已知点是线段的中点，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质，结合勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）取的中点，以点O为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.【详解】（1）连接，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，则，，因为平面底面，平面底面，底面，则平面，平面，又平面，于是，而，则有，于是，因此，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）取边的中点，连接，则，由（1）知平面，，显然两两垂直，以点O为原点，射线的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，设是平面的一个法向量，则，令，得，设是平面的一个法向量，则，令，得，因此，显然二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值是.22．已知焦点在轴上的椭圆：的长轴长为4，的右顶点到右焦点的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)如图，已知点，直线与椭圆交于不同的两点，，（，两点都在轴上方），为坐标原点，且.证明直线过定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)；(2)证明见解析，定点. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可求出的标准方程作答.（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式推理作答.【详解】（1）令椭圆半焦距为c，依题意，，则，所以椭圆的标准方程是.（2）显然直线斜率存在，设直线的方程为：，由消去y并整理得：，设点，则，由得：直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，即，因此，整理得，即，化简得：，而，有，此时直线：，即，所以直线过定点，该定点坐标为.