2022-2023学年江苏省盐城市大丰区等5地（江苏省阜宁中学等2校）高二上学期1月期末联考数学试题含解析

2022-2023学年江苏省盐城市大丰区等5地（江苏省阜宁中学等2校）高二上学期1月期末联考数学试题

一、单选题

1．已知函数，则在上的平均变化率为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】根据平均变化率的定义直接求解.

【详解】因为函数，

所以该函数在区间上的平均变化率为

，

故选：C

2．若直线与互相垂直，则实数（    ）

A． B． C．或0 D．或0

【答案】D

【分析】根据直线一般式方程下两直线垂直的充要条件列方程，即可得实数的值.

【详解】解：若直线与互相垂直，

则，即，解得或.

故选：D.

3．数列的一个通项公式可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用检验法，由通项公式验证是否符合数列的各项结合排除法即可.

【详解】选项A：，不符合题意；

选项B：，不符合题意；

选项C：不符合题意；

而选项D中的通项公式满足数列，

故选：D

4．过点作圆的切线，则切线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求，由切线与MC垂直可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程.

【详解】由题可知点在圆上，，则切线的斜率为，

所以切线方程为，化简可得.

故选：B

5．已知曲线的一条切线为y＝x＋b，则b＝（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】C

【分析】求导后，令导数为1从而可求得切点，再把切点坐标代入直线方程即可求解.

【详解】曲线，.

令，解得，则.

所以直线y＝x＋b与曲线相切于点，

所以点在直线y＝x＋b上，则，解得.

故选：C.

6．已知数列满足，，，，则数列的前10项和（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据等差中项的应用可知数列是首项为1，公差为1的等差数列，求出数列的通项公式，得，利用裂项相消法求和即可.

【详解】∵，，，

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，

∴，∴．

∴，

∴数列的前10项和为

．

故选：C．

7．已知点P是曲线上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导数，利用均值不等式求出切线斜率的取值范围即可计算作答.

【详解】函数的定义域是R，求导得：函数，而，

则曲线在点处的切线的斜率，

当且仅当，即，时取“=”，而，

于是得，又，因此，，

所以的取值范围是.

故选：A

8．已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的左焦点为，则由已知条件结合椭圆的性质可得四边形为矩形，得，然后在中，表示出，再利用椭圆的定义列方程化简可求出离心率.

【详解】设椭圆的左焦点为，

因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，

所以，

在中，，

根据椭圆定义可知：，

所以，

所以，，所以，

所以离心率为

故选：B．

二、多选题

9．设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（    ）

A． B．

C．为常数 D．为等比数列

【答案】ACD

【分析】根据等比数列的性质可得公比，进而可得通项公式与，再逐个选项判断即可.

【详解】设公比为，则，解得，故，

则，.

对A，，故A正确；

对B，，故B错误；

对C，为常数，故C正确；

对D，，，故为等比数列，故D正确；

故选：ACD

10．下列关于双曲线说法正确的是（    ）

A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线

C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点

【答案】ABD

【分析】先求出双曲线的基本量，然后逐一分析每个选项是否正确.

【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；

双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，

故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；

焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，

根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；

椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.

故选：ABD

11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（    ）

A．圆C的方程是

B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为

C．圆C与圆有四条公切线

D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为，该直线斜率为

【答案】BD

【分析】对A，设，再根据列式化简可得圆的方程；对B，根据垂径定理求解即可；对C，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可.

【详解】对A，设，由可得，即，化简可得，故A错误；

对B，过点A且斜率为的直线方程为，即，则圆的圆心到的距离为，故所求弦长为，故B正确；

对C，圆圆心到圆心的距离为，又两圆的半径和为，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；

对D，当直线斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为不合题意，设直线，则由题意C到的距离等于，即，解得，故斜率直线斜率为，故D正确；

故选：BD

12．《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点P与定点的距离和它到定直线l：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点P，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（    ）

A．动点P的轨迹方程为

B．直线：为成双直线

C．若直线与点P的轨迹相交于A，B两点，点M为点P的轨迹上不同于A，B的一点，且直线MA，MB的斜率分别为，，则

D．M点为P的轨迹上的任意一点，，∠FMQ＝60°，则面积为

【答案】BC

【分析】对A，根据题意先求出动点P的轨迹方程判断即可；对B，联立与，得出二次方程，根据判别式判断是否有解即可；对C，设，再表达出，结合椭圆的方程求解即可；对D，根据焦点三角形的面积公式求解即可.

【详解】对A，设，则，即，化简得，故A错；

对B，联立，消去y得，，故直线上存在这样的点，所以：为成双直线，故B正确；

对C，设，则，

，故C正确．

对D，易得分别为椭圆的左右焦点，∠FMQ＝60°，故面积为，故D错误；

故选：BC．

三、填空题

13．已知，则 ______ ．

【答案】/-0.5

【分析】根据函数解析式求出，然后代入中求解即可.

【详解】因为，

所以，

所以.

故答案为：.

14．已知的一条内角平分线CD的方程为，两个顶点为，，则顶点C的坐标______．

【答案】

【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，再根据点在直线上，利用两点式求得的方程，再把的方程和的方程联立方程组，求得第三个顶点的坐标

【详解】由题意可知：关于直线的对称点在直线上，

设对称点为，

则由，解得，

所以直线BC的斜率为,

所以直线（即）的方程为，即：．

解方程组，求得点的坐标为．

故答案为：.

15．已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为______．

【答案】370

【分析】依题意，确定前60项所包含数列的项，以及中间插入4的数量即可求和.

【详解】因为与之间插入个4，

，，，，，

其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，

，之间插入32个4，由于，，

故数列的前60项含有的前5项和55个4，

故.

故答案为：370.

16．已知点M为双曲线C：在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，，∠MOF＝60°，则双曲线C的离心率为______．

【答案】/

【分析】根据向量加法运算及中位线性质得，再结合∠MOF＝60°得到，，利用双曲线定义即可建立a，c关系，即可求解离心率.

【详解】设为双曲线的左焦点，连接，取的中点，如图，

则，

因为，

所以，即.

因为是的中位线，所以，所以.

又∠MOF＝60°，，所以为等边三角形，

所以，∠OFM＝60°，在中，，

由双曲线的定义知，，

所以.

故答案为：.

四、解答题

17．已知点P在圆上，点，．

(1)求点P到直线AB距离的最大值；

(2)当∠PBA最小时，求线段PB的长．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据圆上的点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离与半径和求解即可；

（2）由题意当直线与圆相切时，最小，再根据勾股定理求解即可.

【详解】（1）直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，故圆与直线相离，点到直线距离的最大值为；

（2）当直线与圆相切时，最小，由勾股定理可得，此时线段的长为

18．在等差数列中，已知公差，，前项和．

(1)求；

(2)求和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用等差数列前项和公式求解；

（2）直接写出前项的绝对值进行求和

【详解】（1）根据等差数列的前项和公式：，解得；．

（2）由题意，，于是．

19．已知函数，其中是的导函数.

(1)求；

(2)求过原点与曲线相切的切线方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出函数的导函数，再令，计算可得；

（2）由（1）可得函数解析式，从而求出函数的导函数，设切点，利用导数的几何意义求出切线方程，根据切线过原点，求出切点坐标，再代入求出切线方程.

【详解】（1）因为，

所以，

令，得，

解得；

（2）由（1）可知，所以，

设切点，则，

所以切线方程为，

由题，

整理得，解得或.

当时，切线方程为；

当时，切线方程为.

综上，曲线过原点的切线方程为或.

20．已知直线l与抛物线C：交于A，B两点．

(1)若直线l过抛物线C的焦点，线段AB中点的纵坐标为2，求AB的长；

(2)若直线l经过点，求的值．

【答案】(1)6

(2)

【分析】（1）设，，根据中点坐标公式可得，利用抛物线的定义求焦点弦即可；

（2）易知直线斜率必存在，设为，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】（1）设，，线段中点设为，则，

由题意，抛物线的焦点为，，

根据抛物线的定义得；

（2）当直线斜率不存在时，，与抛物线只有一个交点，不符合题意.

所以直线斜率必存在，设为，

与抛物线联立得：，，得，

所以.

21．已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，且数列的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）写出当时的等式，再与原式两式相除求解即可；

（2）由（1），再根据错位相减求解可得，再化简不等式可得，再设，根据作差法判断的单调性，进而可得最大值.

【详解】（1），

当时，，

两式相除得；，

又符合上式，故；

（2），

，

，

错位相减得：

，

，

即，由，得，

设，则，

故，

由，

由可知，随着的增大而减小，

故，

故恒成立，知单调递减，

故的最大值为，则

22．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点作两条直线和，与C交于点A，B，与C交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，设直线和的斜率分别为，，

①若，求证：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；

②若，过点作，垂足为H．试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值．

【答案】(1)

(2)①证明见解析 ；②存在；.

【分析】（1）依题意建立的方程，求之即可得到椭圆方程；

（2）①解法一利用韦达定理求得中点坐标，再利用斜率公式即可；解法二利用点差法求得直线斜率与中点的关系，从而得证；

②当直线PQ的斜率不存在时，得，与题意中的矛盾，不符合题意；设直线PQ的方程为.由（2）①可知把的坐标代入可得为方程的两个根，利用韦达定理可得，从而确定直线PQ过定点，由，且为定值可知当点为的中点时，为定值．

【详解】（1）依题意得，，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）①解法一：直线AB的方程为，直线CD的方程为，

联立，，

设，则，，

同理得，，

则；

解法二：

设，

则，所以，

则，所以，

同理可得，则；

②当直线PQ的斜率不存在时，轴，点P与点Q关于轴对称，

则，与题意中的矛盾，不符合题意；

故设直线PQ的方程为，

由第（2）问可知，，

代入直线PQ的方程有，

化简得，

同理有，

所以为方程的两个根，有，

又，所以，

所以直线PQ的方程为，得直线PQ过定点，

故由，且为定值，

可知当点为的中点时，即，为定值．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.