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2022-2023学年云南省昆明市西山区高二上学期2月期末考试数学试题含解析
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这是一份2022-2023学年云南省昆明市西山区高二上学期2月期末考试数学试题含解析,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年云南省昆明市西山区高二上学期2月期末考试数学试题 一、单选题1.已知全集,,,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据对数函数单调性求集合B,再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得:,则,可得.故选:D.2.已知复数满足,其中为虚数单位,则( )A. B. C.1 D.2【答案】C【分析】先求出复数,再利用求模的公式即可求出答案.【详解】因为,所以,所以故选:C.3.已知等差数列的前项和为,且,,则( )A.7 B.5 C.4 D.【答案】B【分析】根据等差中项分析运算.【详解】因为数列为等差数列,可得,则,,则,由,即.故选:B.4.设平面向量,若,则等于( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据,可得,从而可求出,再根据向量的模的计算公式计算即可.【详解】因为,所以,即,解得,即,则,所以.故选:B.5.地震的震级直接与震源所释放的能量大小有关,可以用关系式表达:,其中M为震级,E为地震能量.2022年11月21日云南红河发生了3.6级地震,此前11月19日该地发生了5.0级地震,则第一次地震能量大约是第二次地震能量的( )倍(参考数据,)A.100 B.120 C.125 D.160【答案】C【分析】根据题意结合对数运算分析求解.【详解】设3.6级地震的地震能量为,5.0级地震的地震能量为,由题意可得,两式相减得,因为2.1更接近于2.09,可得,结合选项可知:所以第一次地震能量大约是第二次地震能量的125倍.故选:C.6.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图,则下列说法不正确的是( )A.若甲、乙两组数据的平均数分别为,,则B.若甲、乙两组数据的方差分别为,,则C.甲成绩的极差小于乙成绩的极差D.甲成绩比乙成绩稳定【答案】B【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况即可作出判断.【详解】对于A,由折线图可知,甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩,A正确;对于B,由折线图可知,甲同学的成绩较乙同学的成绩更稳定,所以,B错误,对于C,由折线图可知,甲成绩的极差小于乙成绩的极差,C正确;对于D,甲成绩比乙成绩稳定,D正确.故选:B7.已知长方体的体积为16,,与相交于点E,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据已知线面关系,判断三棱锥的外接球球心的位置并计算出求得半径,从而得外接球的表面积即可.【详解】解:设,则由长方体的体积公式,得,解得,所以,由题可知,四边形为正方形,所以,所以外接圆的圆心为AD的中点,记为点M,如下图:又是直角三角形,同理外接圆的圆心为AC的中点,记为点N,过点M,N分别作平面与平面的垂线,两条垂线的交点为AC的中点N,所以三棱锥的外接球的球心是AC的中点N.又,所以外接球半径,所以外接球的表面积为.故选:D.8.已知是上的奇函数,且,当时,,则( )A. B.1 C.0 D.2【答案】A【分析】根据奇函数的性质得到,再分析得到函数的周期,根据周期性及所给函数解析式计算可得.【详解】因为是定义在上的奇函数, 则,又,即,所以,所以是以为周期的周期函数,当时,,所以,,所以.故选:A 二、多选题9.已知函数的图象的相邻两个最高点的距离为,,则下列说法正确的是( )A. B.的图像关于直线对称C.函数为奇函数 D.函数在上单调递增【答案】AC【分析】对于A:根据函数的周期求;再根据求.对于B、C、D:结合三角函数的性质逐项分析判断.【详解】对于A:由题意可得:,且,解得,故A正确;可得,因为,即,且,可得,故.对于B:因为不是最值,所以的图像不关于直线对称,故B错误;对于C:是奇函数,故C正确;对于D:因为,则,且在上不单调,所以函数在上不单调,故D错误;故选:AC.10.在正方体中,M,N分别为AB,AD的中点,则下列说法正确的是( )A.平面平面B.平面平面C.与平面所成角的正弦值为D.与平面所成角的正弦值为【答案】ABC【分析】对于A、B:根据线面、面面垂直的判断定理分析判断;对于C、D:根据线面夹角的定义分析计算.【详解】设正方体的棱长为4,因为平面,平面,则,又因为,,平面,所以平面,对于A:因为M,N分别为AB,AD的中点,则//,可得平面,且平面,所以平面平面,故A正确;对于B:因为平面,所以平面平面,故B正确;对于C:设,连接,因为平面,则与平面所成角为,可得,则,所以与平面所成角的正弦值,故C正确;对于D:设,连接,因为平面,则与平面所成角为,可得,所以与平面所成角的正弦值,故D错误;故选:ABC.11.下列说法正确的有( )A.若不等式的解集为,则B.对任意终边不在坐标轴上的角都有恒成立C.定义在上的奇函数在上单调递增,且,则不等式的解集为D.函数,若恒成立,则实数的取值范围是【答案】ABD【分析】对于A:根据三个二次之间的关系分析运算;对于B:根据题意结合基本不等式分析运算;对于C:根据奇函数的性质结合函数单调性分析运算;对于D:根据恒成立问题解得基本不等式可得,解一元二次不等式即可.【详解】对于A:若不等式的解集为,则为方程的两根,且,可得,解得,所以,故A正确;对于B:由题意可知:,则,当且仅当,即时,等号成立,所以,故B正确;对于C:由题意可得:在上单调递增,且,结合奇函数可得:若,则或;若,则或;因为,则或,可得或,解得,所以不等式的解集为,故C错误;对于D:因为,则,当且仅当,即时,等号成立,可得,解得,所以实数的取值范围是,故D正确;故选:ABD.12.已知椭圆的右顶点为,过右焦点的直线交椭圆于两点,设,的斜率分别记为,以下各式为定值的是( )A. B.C. D.【答案】BD【详解】易得,设直线的方程为,与椭圆方程联立,利用韦达定理逐项判断.【分析】解:如图所示:由已知得,设直线的方程为,与椭圆方程联立得,消去得:,设,所以,,,则(与有关,不是定值),故选项错误.是定值,故选项B正确. ,(与有关,不是定值)故选项C错误. ,(定值)故选项D正确.故选:BD 三、填空题13.命题“,”的否定为________;【答案】,【分析】根据特称命题的否定分析判断.【详解】由题意可得:命题“,”的否定为“,”.故答案为:,.14.写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式:________;①数列是递减数列,②【答案】(答案不唯一)【分析】本题属于开放性问题,只需找到符合题意的,令,再检验即可.【详解】令,因为函数在定义域上单调递减,且当时,所以单调递减,且,符合题意.故答案为:(答案不唯一)15.已知函数,若方程有4个不同的实数根,则实数的取值范围是________;【答案】【分析】原题意等价于与有四个不同的交点,结合图象分析求解.【详解】原题意等价于与有四个不同的交点,作出的图象,如图所示:可得:当时,与有且仅有一个交点;当或时,与有且仅有三个交点;当时,与有且仅四个交点;当时,与有且仅有两个交点;综上所述:若与有四个不同的交点,则实数的取值范围是.故答案为:.16.已知的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,,若,则面积的最大值为_________.【答案】【分析】由正弦定理边化角,结合两角和与差的正弦公式可得,再利用余弦定理,结合基本不等式即可求解.【详解】因为,由正弦定理可得,整理得,又因为,则,可得,整理得,且,则,由余弦定理,即,则,当且仅当时,等号成立,整理得,可得面积,所以面积的最大值为.故答案为:. 四、解答题17.2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆,航天员翟志刚,王亚平,叶光富顺利出舱,神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就,发扬并传承中国航天精神,某校抽取100名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分(满分:100分),根据得分将他们的成绩分成,,,,,六组,制成如图所示的频率分布直方图.(1)求图中的值,并估计这100人竞赛成绩的平均数;(同一组数据用该组数据的中点值代替)(2)估计竞赛成绩不低于60分的概率.【答案】(1),平均数为(2) 【分析】(1)由频率分布直方图,利用频率和为1,列方程解出值,并利用平均数的定义求解;(2)根据频率分布直方图,可计算竞赛成绩不低于分的概率.【详解】(1)由题意,,解得,所以,故这人竞赛成绩的平均数为;(2)竞赛成绩不低于分的概率为.18.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,的外接圆半径为,(1)求角C;(2)若的面积为,求的周长.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据二倍角公式结合正弦定理分析运算;(2)先利用正弦定理求得,再利用面积公式、余弦定理运算求解.【详解】(1)因为,由正弦定理可得,又因为,则,可得,即,所以.(2)由正弦定理,可得,因为的面积,即,可得,由余弦定理,即,解得或(舍去),所以的周长为.19.如图,在四棱锥中,底面ABCD是平行四边形,,,点E是线段AD的中点,点F在线段AP上且满足,面ABCD.(1)当时,证明://平面;(2)当为何值时,平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小?【答案】(1)证明见详解(2) 【分析】(1)根据线面平行的判定定理分析证明;(2)建系,利用空间向量求二面角,并结合二次函数分析运算.【详解】(1)设,因为//,则,若,即,可得,所以//,平面,平面,故//平面.(2)连接,由题意可得:,在中,由余弦定理,即,可得,则,且面ABCD,如图,以为坐标原点建立空间直角坐标系,则,可得,设点,则,因为,则,解得,即,可得,设平面BFE的法向量为,则,令,则,即,由题意可得:平面的法向量,设平面BFE与平面PBD所成的二面角为,则,由题意可知:,则有:当时,则;当时,则,因为,则,关于的二次函数开口向上,对称轴,当,即时,取到最小值,即,可得;综上所述:.所以当时,取到最大值,取到最小值.即当时,平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小.20.某家庭有12万元存款,为增加家庭收入,决定用其中的10万元进行风险投资.他们对甲乙两种产品进行市场调研,得到如下结论:甲产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图1),乙产品的利润与投资额成正比(如图2),(利润与投资额的单位均为万元)(1)分别写出甲乙两种产品的利润,与投资额之间的函数关系;(2)这个家庭应如何分配甲乙两种产品的投资额,可以获得最大利润,最大利润是多少?【答案】(1),(2)该家庭对甲种产品投资万元,对乙种产品投资万元,可以获得最大利润,最大利润是万元. 【分析】(1)根据题意可知,甲种产品的利润,乙种产品的利润,结合图象,求解,,最后写出解析式即可;(2)设该家庭对甲种产品投资万元,则对乙种产品投资万元,,该家庭获得的利润为,,利用换元法,结合二次函数的性质,求解即可.【详解】(1)根据题意可知,甲种产品的利润,乙种产品的利润,根据图象可知,,,解得,,故,;(2)设该家庭对甲种产品投资万元,则对乙种产品投资万元,,该家庭获得的利润为,,令,则,,对应二次函数开口向下,对称轴为,所以,即为最大利润,故该家庭对甲种产品投资万元,对乙种产品投资万元,可以获得最大利润,最大利润是万元.21.已知是数列的前项和,①,,②,且,③,请从①②③中选择一个条件进行求解.注:如果选择不同的条件分别解答,则按第一个解答计分.(1)求数列的通项公式;(2)数列的前项和为,是否存在正整数,使恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)(2)存在,的最大值为 【分析】(1)对①②:根据前项和与通项之间的关系,结合等比数列分析运算;对③:根据等比数列分析运算;(2)利用裂项相消法求,根据数列单调性结合恒成立问题运算求解.【详解】(1)若选①:,,当时,则,即;当时,则,可得,整理得,故数列是以首项,公比的等比数列,则;若选②:,且,令,则,可得,两式相减得,即,注意到,故数列是以首项,公比的等比数列,则;若选③:,,即,故数列是以首项,公比的等比数列,则.(2)存在,的最大值为.由(1)可知:,则,所以,可知为递增数列,则,所以,解得,且为正整数,则的最大值为.22.已知双曲线的右焦点为F,点 分别为双曲线C的左、右顶点,过点F的直线l交双曲线的右支于 两点,设直线的斜率分别为,且.(1)求双曲线C的方程;(2)当点P在第一象限,且时,求直线l的方程.【答案】(1)(2) . 【分析】(1)设点,根据,结合点P是双曲线上的点,化简求得,即得答案.(2)设,利用两角和的正切公式化简可得,设直线,并联立双曲线方程,可得根与系数的关系,化简求得m的值,即得答案.【详解】(1)由题意得 ,设点.则.因为点P是双曲线上的点,则,∴.,∴,则双曲线C的方程为(2)设,点P在第一象限,则,又,故,同理可得,即,则直线l的斜率大于0,由(1)可知 ,设直线,联立 ,化简得 ,则,故,,代入韦达定理得 ,所以 ,解得或(舍去),所以直线l的方程为 .【点睛】关键点点睛:解决此类直线和圆锥曲线的位置关系的问题时,一般设出直线方程,并联立圆锥曲线,得到根与系数的关系式,化简求解,解答此题的关键在于要能利用两角和的正切公式结合进行化简得到,从而再结合根与系数的关系化简求解即可.
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