2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（文）试题 一、单选题1．若复数满足，则复数的虚部是（    ）A．－2 B． C．2 D．【答案】C【分析】计算，得到复数的虚部.【详解】，则.故复数的虚部是.故选：C2．已知空间中不过同一点的三条直线，则“两两相交”是“共面”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，，，在同一平面，则，，，相交或，，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以“，，在同一平面”成立，则“，，两两相交”不一定成立；而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．故“，，两两相交”是“，，共面”的充分不必要条件，故选：A【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.【详解】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率等于3，所以直线的斜率等于，即，解得，故选:D.4．已知数列的前项和为.若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由与关系可化简已知等式证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可求得结果.【详解】由得：，又，数列是以为首项，为公差的等差数列，，.故选：C.5．已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离，再计算最小值得到答案.【详解】圆，圆心为，半径，圆心到直线的距离为，直线和圆相离，故圆上的点到直线的距离的最小值为.故选：B6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以内的素数有四个，而以内的孪生素数有，根据古典概型的概率公式计算即可.【详解】由题知，以内的素数有，，，，则是，，，，符合孪生素数的有，则所求概率为.故选：C7．设经过点的直线与抛物线相交于，两点，若线段中点的横坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线与抛物线的位置关系以及韦达定理、弦长公式求解即可.【详解】因为经过点的直线与抛物线相交于，两点，所以该直线的斜率不等于0，所以可假设直线方程为，设，联立，整理得，所以所以，因为线段中点的横坐标为，所以，所以，所以，故选：B.8．关于的方程，有下列四个命题：甲：是方程的一个根；乙：是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（    ）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】A【分析】确定甲或乙为假命题，丙丁为真命题，假设甲为真命题，得到矛盾，得到答案.【详解】根据题意：甲乙丙中有矛盾，其中有一个假命题；甲乙丁中有矛盾，其中有一个假命题；故甲或乙为假命题，丙丁为真命题.假设甲为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，与丁矛盾，假设不成立，故甲为假命题.假设乙为真命题，是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为，满足条件.综上所述：甲为假命题.故选：A.9．若椭圆的离心率为，则的值为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】考虑和两种情况，根据离心率的公式计算得到答案.【详解】当时，离心率为，解得；当时，离心率为，解得.综上所述：或.故选：D10．以下判断正确的是（    ）A．的充要条件是B．若命题：，，则：，C．命题“在中，若，则”的否命题为假命题D．“”是“函数是偶函数”的充要条件【答案】D【分析】当，A错误，为，，B错误，确定否命题为真命题，C错误，根据偶函数定义得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：当时，成立，无意义，错误；对选项B：为，，错误；对选项C：否命题为在中，若，则，若，则，故，为真命题，错误；对选项D：若，则为偶函数，，函数定义域为，函数关于对称，函数为偶函数，故，即，正确.故选：D11．已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】关于的不等式在上恒成立可转化为在上恒成立，分情况讨论的范围，利用导数研究函数的单调性与极值及最值，即可得出结论.【详解】由题知，在上恒成立，即在上恒成立，当时，恒成立，；当时，恒成立，令，则，令，得，令，得，令，得，则，可得；当时，恒成立，此时，故只需，即；综上，的取值范围为.故选：D12．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，确定，根据二次函数性质得到最值.【详解】，设，则，，当时，最大为.故选：B13．已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】确定两圆圆心和半径，根据公切线得到两圆外切，得到，变换得到，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，即，圆心，；，即，圆心，半径；两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，即，.当且仅当，即，时等号成立.故选：A14．已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性与定义域可求得原不等式的解集.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，因为，则，由可得，即，所以，，解得，因此，不等式的解集为.故选：A. 二、填空题15．某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为________．【答案】4【分析】先算抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得.【详解】，应抽取的大型城市个数为个．故答案为：4．16．若样本数据，，…，的方差为100，则数据，，…，的方差为________.【答案】900【分析】由方差的性质直接写出答案即可.【详解】样本数据，，…，的方差为100，数据，，…，的方差为.故答案为：17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，交另一条渐近线于，且为的中点，则双曲线的渐近线方程为________.【答案】【分析】根据垂直得到直线的斜率为，根据中位线平行得到，确定，得到渐近线方程.【详解】根据对称性，不妨设与渐近线垂直，则直线的斜率为，为的中点，为中点，，则，即，整理得到，故渐近线方程为.故答案为：.18．已知的三个内角，，的对边分别为，，，，且，则面积的取值范围为_________.【答案】【分析】根据正弦定理化简已知表达式，再结合余弦定理即可求得，表达面积，再用基本不等式即可求得.【详解】因为，则由正弦定理得：，化简得，因为，代入化简得，，则， 所以，面积；又，解得，当且仅当时，等号成立，所以，故三角形面积的取值范围是.故答案为：19．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴交于点，若点，是线段的三等分点，则该椭圆的离心率为_______.【答案】【分析】由点，是线段的三等分点, 得出, 结合对称性得出B 点坐标,最后应用点在椭圆上计算得出离心率.【详解】由已知可知，点，是线段的三等分点，则 为 的中点，右焦点为，所以,所以 x 轴，由椭圆方程 得A 点的坐标为,, 关于 对称，易知 B 点坐标将其代入椭圆方程得得，所以离心率为.故答案为： .20．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_______.【答案】【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，计算，得到，解得答案.【详解】，，取得到，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；，取，则或，函数在上有最小值，则，解得，即.故答案为： 三、解答题21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)估计居民月均用水量的中位数；(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由.【答案】(1)0.30(2)(3)162000，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求解；（2）利用中位数的定义求解；（3）利用样本估计总体.【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为,同理，在中的频率分别为.由，解得.（2）由频率分布直方图得：,, 所以中位数应落在，设中位数为x，则，解得，估计居民月均用水量的中位数约为.（3）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为.由以上样本的频率分布，可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为22．如图，在四棱锥中，，，，平面平面.(1)求证：平面；(2)设，，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取的中点，结合等腰三角形三线合一、面面垂直和线面垂直性质可得；又，由线面垂直的判定可证得结论；（2）利用勾股定理可求得，根据，结合棱锥体积公式可求得结果.【详解】（1）取的中点，连接，，为中点，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，，，，，平面，平面.（2）由（1）知：平面，平面，，又，，，，为等腰三角形，，，.23．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为6.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设不与轴垂直的直线与点的轨迹交于不同的两点，.若，求证：直线l过定点.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．【详解】（1）设动圆圆心为，，到x轴距离为，x轴截得半弦长为3,则，化简得；所以动圆圆心M的轨迹方程为.（2）易知直线l的斜率存在，设，则由，得，,由韦达定理有：，.从而，即，则,则直线，故直线过定点.24．已知函数有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.【答案】（1）（2）（3）没有最小值.见解析【解析】（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.（2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.（3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值.【详解】（1）定义域为，.因为有两个不同的极值点，且，所以有两个不同的正根，，解得.（2）因为，不妨设，所以，，所以.令，则，所以在上单调递增，所以，即的极大值与极小值之和的取值范围是.（3）由（2）知.因为，所以，所以.因为，所以.令，则，所以在上单调递减，无最小值，故没有最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.