2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年四川省泸州市高二上学期期末考试数学（文）试题

一、单选题

1．抛物线的焦点坐标为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果.

【详解】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为.

故选：C.

2．完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的抽样方法依次是（    ）

A．①简单随机抽样，②系统抽样

B．①分层抽样，②简单随机抽样

C．①系统抽样，②分层抽样

D．①②都用分层抽样

【答案】B

【分析】可以从总体的个体有无差异和总数是否比较多入手选择抽样方法，①中某社区420户家庭的收入差异较大;②中总体数量较少，且个体之间无明显差异.

【详解】①中某社区420户家庭的收入有了明显了差异，所以选择样本时宜选用分层抽样法;②个体没有差异且总数不多可用简单随机抽样法．故选：B

【点睛】本题主要考查抽样方法的特点及适用范围，属于容易题.

3．点与点关于直线l对称，则l的方程是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.

【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为，

点与点的中点为，

所以直线l的方程为，即.

故选：B

4．下列叙述中，错误的是 （    ）

A．数据的标准差比较小时，数据比较分散

B．样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响

C．数据的极差反映了数据的集中程度

D．任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变

【答案】A

【分析】利用样本数字特征的基本概念逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】数据的标准差比较小时，数据比较集中，故A错误；

样本数据的中位数不受少数几个极端值的影响，故B正确；

数据的极差反映了数据的集中程度，故C正确；

任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，故D正确.

故选：A.

二、多选题

5．已知a，b，c满足，且，那么下列各式中不一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由已知可得，，再由不等式的基本性质逐一判断即可．

【详解】解：因为，且，所以，，

对于，，，所以，所以，故正确；

对于，，故正确；

对于，当时，，故错误；

对于，，，所以，故正确．

故选：．

三、单选题

6．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据.由表中数据，求得线性回归方程为.若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（    ）

A．9.2 B．9.7 C．9.5 D．9.9

【答案】C

【分析】求出，线性回归方程恒过，代入即可求出，再令x＝12，代入求解即可.

【详解】由表中数据可得，，，

线性回归方程为，则，解得，

故，当x＝12时，.

故选：C.

7．设l，m，n表示不同的直线，α，β，y表示不同的平面，给出下列三个命题：

①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；

②若α⊥β，β⊥y，则α∥y；

③若α∩β＝l，β∩y＝m，α∩y＝n，则l∥m∥n.

其中正确命题的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由线面、面面的平行、垂直的判定与性质逐一判断即可.

【详解】l，m，n表示不同的直线，α，β，y表示不同的平面，

对于①，若m∥l，且m⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥α，故①正确；

对于②，若α⊥β，β⊥y，则α与y相交或平行，故②错误；

对于③，如图，若α∩β＝l，β∩y＝m，α∩y＝n，

结合图形得l，m，n交于同一点，故③错误.

故选：B.

8．《九章算术》中介绍了一种研究两个整数间关系的方法即“更相减损术”，该方法的算法流程图如图所示，若输入a＝12，b＝8，i＝0，则输出的结果为（    ）

A．a＝6，i＝2 B．a＝5，i＝3 C．a＝4，i＝2 D．a＝4，i＝3

【答案】D

【分析】模拟程序运行的过程，分析循环中各变量值的变化，可得答案.

【详解】初始值a＝12，b＝8，i＝0，

第一次执行循环体后，i＝1，a＝4，不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体后，i＝2，b＝4，不满足退出循环的条件；

第三次执行循环体后，i＝3，a＝b＝4，满足退出循环的条件；

故输出i＝3，a＝4，

故选：D.

9．直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由直线的点斜式方程即可表示出直线的方程，得到其在轴的截距，列出不等式，即可得到结果.

【详解】设直线l的斜率为，则方程为，

令，解得，

故直线l在x轴上的截距为，

∵在x轴上的截距的取值范围是，

∴，解得或.

故选：C.

10．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度|AB|＝6m，那么车辆通过隧道的限制高度约为（    ）

A．3.1m B．3.3m C．3.5m D．3.7m

【答案】B

【分析】根据题意，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，得到抛物线方程，即可得到结果.

【详解】  

取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，

则，

设抛物线方程，将点C代入抛物线方程得，

∴抛物线方程为，

行车道总宽度，

∴将代入抛物线方程，则，

∴限度为.

故选：B.

11．已知底面是正三角形的直三棱柱的高是它底面边长的倍，若其外接球的表面积为，则该棱柱的底面边长为 （    ）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】先设底面边长为a，从而用a表示出棱柱的高（它的一半即为球心到底面的距离d）和底面外接圆的半径r，再由球的表面积求出球的半径，然后利用即可列式求解.

【详解】设该棱柱的底面边长为a，则该棱柱的高为，

设正三角形的外接圆的半径为r，则由正弦定理得，即，

设其外接球的半径为R，则，即，

又，所以，即，

则该棱柱的底面边长为6，

故选：C.

12．已知F1，F2为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C的右支交于点Q，若（O为坐标原点），则C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】因为，O是的中点，所以为PF2的中点．又，到渐近线的距离为，得出的余弦值，在△QF2F1中，利用双曲线的定义和余弦定理列方程求解即可.

【详解】根据对称性不妨设P为第一象限的点，

∵O为F1F2的中点，又，∴Q为PF2的中点，

又F2（c，0）到的距离，

∴|PF2|＝b，∴|QF2|＝，

连接，所以，又|F1F2|＝2c，

∵PO的斜率为，又QF2⊥PO，

∴QF2的斜率为，∴，∴，

在△QF2F1中，由余弦定理可得：

，化简可得a＝b，

∴双曲线C的离心率为＝.

故选：A.

四、填空题

13．写出使“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值 ___.

【答案】4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）

【分析】由双曲线焦点在x轴上的特征求解即可.

【详解】∵方程表示焦点在x轴上的双曲线，

则，即，

∴“方程表示焦点在x轴上的双曲线”的m的一个值4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.

故答案为：4（答案不唯一，可以是大于3的任意实数）.

14．已知变量x，y满足约束条件，则的最大值是 _____.

【答案】5

【分析】作出不等式组对应的平面区域，再由几何意义求解即可.

【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：

由得，

平移直线，

由图象可知当直线经过点A时，直线的截距最大，

此时z最大，

由解得，此时，

故答案为：5.

15．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，则圆台O′O的母线长为________cm.

【答案】9

【分析】设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．

【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16，

∴圆台的上、下底面半径之比是1：4，

如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，

根据相似三角形的性质得 ．

解此方程得y=9．

所以圆台的母线长为9cm．

故答案为9cm．

【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.

16．关于曲线有如下四个命题：

①曲线C经过第一、二、四象限；

②曲线C与坐标轴围成的面积为；

③直线与曲线C最多有两个公共点；

④直线与曲线C有且仅有一个公共点.

其中所有真命题的序号是 ________（填上所有正确命题的序号）.

【答案】①③④

【分析】分，，，四种情况讨论，去绝对值符号，作出曲线的图象，根据图象逐一分析即可.

【详解】当，可得曲线方程为，为圆的一部分；

当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；

当，可得曲线方程为，为双曲线的一部分；

当，曲线方程为，不存在这样的曲线；

作出曲线得图象，如图所示，

由图可知，曲线C经过第一、二、四象限，故①正确；

②中，围成的面积S＝，故②不正确；

③中，因为直线的斜率与双曲线的渐近线的斜率相等，

圆心O到直线的距离，，

则时，直线与曲线相切，只有一个交点，

当时，直线与曲线有两个交点，

当或时，直线与曲线无交点，

所以直线与曲线C最多有两个公共点，故③正确；

④由图象知直线与曲线C有且仅有一个公共点，故④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】关键点点睛：去绝对值符号，作出曲线的图象，是解决本题的关键.

五、解答题

17．已知函数，.

(1)若关于的不等式的解集为，求的取值范围；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由题意可得判别式小于0，由此即可求出的范围；

（2）化简不等式，然后讨论，，三种情况，根据一元二次不等式的解法即可求解．

【详解】（1）因为不等式的解集为，则，解得，

所以实数的范围为；

（2）不等式化简为，即，

因为方程的两根分别为，，

当时，不等式化为，此时不等式无解，

当时，解不等式可得，

当时，解不等式可得，

综上可得：当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为．

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，E，F分别为SD、BC的中点.

(1)证明：平面SAB；

(2)若平面SAD⊥平面ABCD，且△SAD是边长为2的等边三角形，.求四棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)2

【分析】（1）根据题意，取SA中点M，连接BM，EM，即可证明MEFB为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明；

（2）根据题意，取AD的中点N，连接SN，由线面垂直的判定定理即可得到SN⊥平面ABCD，再由三棱锥的体积公式即可得到结果.

【详解】（1）  

证明：取SA中点M，连接BM，EM.

又E分别为SD的中点，

所以，且ME＝AD，

因为底面ABCD为菱形，F分别为BC的中点，

所以BF＝AD，，

所以，且ME＝BF.

所以MEFB为平行四边形.

所以.

又因为EF平面SAB，平面SAB，

所以平面SAB.

（2）  

取AD的中点N，连接SN，

因为是边长为2的等边三角形，所以SN⊥AD，

因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，平面SAD，

所以SN⊥平面ABCD，

因为菱形ABCD中，，AD＝2，

所以，

因为SA＝AD＝SD＝2，N是AD的中点，易得SN＝.

所以三棱锥S﹣ABC的体积 V＝.

19．某线上零售产品公司为了解产品销售情况，随机抽取50名线上销售员，分别统计了他们2022年12月的销售额（单位：万元），并将数据按照[12，14），[14，16）…[22，24]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，估计该公司销售员月销售额的平均数是多少（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）？

(2)该公司为了挖掘销售员的工作潜力，拟对销售员实行冲刺目标管理，即根据已有统计数据，于月初确定一个具体的销售额冲刺目标，月底给予完成这个冲刺目标的销售员额外的奖励.若该公司希望恰有20%的销售人员能够获得额外奖励，你为该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是多少？并说明理由.

【答案】(1)18.32（万元）

(2)20.8万元，理由见解析

【分析】（1）根据概率和为1算出a的值，再根据频率分布直方图即可计算结果；

（2）根据频率分布直方图即可求解.

【详解】（1）根据频率分布直方图可得：

（0.03+a+0.12+0.14+0.1+0.04）×2＝1，

解得a＝0.07，

∴该公司销售员月销售额的平均数为：

＝13×0.03×2+15×0.07×2+17×0.12×2+19×0.14×2+21×0.1×2+23×0.04×2＝18.32（万元）；

（2）设该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是x，

则根据频率分布直方图可得：

（22﹣x）×0.1+0.08＝0.2，

解得x＝20.8，

∴该公司制定的月销售额冲刺目标值应该是20.8万元.

20．已知圆心为C的圆过点，，在①圆心在直线上；②经过点这两个条件中任选一个作为条件.

(1)求圆C的方程；

(2)经过直线上的点P作圆C的切线，已知切线长为4，求点P的坐标.

注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)或

【分析】（1）根据题意，若选①，可得直线垂直平分线所在直线方程，然后与直线联立，即可得到圆心，从而得到圆C的方；若选②，可设圆的方程一般式，然后将点的坐标代入，即可得到结果；

（2）根据题意，由条件列出方程，然后求解，即可得到结果.

【详解】（1）若选①，∵圆过点，，则直线的斜率为，

所以与直线垂直的直线斜率，且的中点为，即，

则的垂直平分线所在直线方程为，即，

又知圆心在直线上，

∴，解得，所以圆心.

半径为.

所以圆的标准方程为.

若选②，设圆的方程为，（其中），

则，解得，

所以，圆方程为，

化为标准方程为.

（2）设，∵经过直线上的点P作圆C的切线，切线长为4，

∴，化简得，

∴，解得或，

∴点P的坐标为或.

21．已知曲线C上任意点到点F（1，0）距离比到直线x+2＝0的距离少1.

(1)求C的方程，并说明C为何种曲线；

(2)已知A（1，2）及曲线C上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k1，k2，且k1+k2＝1，求证：直线BD经过定点.

【答案】(1)y2＝4x，抛物线；

(2)证明见解析.

【分析】（1）设曲线C上的点P（x，y），化简方程，即得解；

（2）由直线，的斜率之和为1，可以用齐次式方程，设直线的方程，将求出的方程也整理，两式联立，可得齐次式方程，曲线斜率之和，整理可得直线恒过的定点的坐标．

【详解】（1）设曲线上的点，

由题意，且，

整理可得：；

可得曲线的方程为, 曲线为抛物线；

（2）证明：显然直线，的斜率存在，设，，，，，，利用齐次式方程，

所以设直线的方程为，

设抛物线的方程为，

整理可得：，

将代入，

整理可得：，

即，

两边同时除以可得：，

△，设方程的根为，，

则，

由题意可得，

整理可得，与对应项相等，

可得且，

解得，，

即直线恒过定点，

即可证得直线恒过定点．

22．已知椭圆的离心率为，短轴长为.

(1)求的方程；

(2)过的右焦点的直线交于，两点，若点满足，过点作的垂线与轴和轴分别交于，两点.记，△（为坐标原点）的面积分别为､，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由短轴长可求出，由离心率的值可求出，即可求出椭圆方程；

（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，将直线和椭圆方程联立，进而求出点的坐标，由直线的方程可求出点, 的坐标，求出，△的面积的表达式，再由三角形相似，可得对应边的比，进而求出面积比，最后由函数的单调性求出范围.

【详解】（1）由题意可得，解得，，解得，，

所以椭圆的方程为：；

（2）由（1）得右焦点，，由题意可得直线的斜率存在且不为0，

设直线的方程为，设，，，，

因为点满足，所以为的中点，

联立，整理可得：，

因为在椭圆内部，显然，，，

所以的中点的纵坐标为，代入直线的方程为，即，，

即直线的方程为，

令，解得，即，

令，解得，即，，

，，

由题意可得△△，所以，

设，则，

而，

所以，

设，

令，，函数在单调递增，

所以，

所以的取值范围为.