2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（理）试题含解析

这是一份2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（理）试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题1．若复数满足，则复数的虚部是（    ）A．－2 B． C．2 D．【答案】C【分析】计算，得到复数的虚部.【详解】，则.故复数的虚部是.故选：C2．已知空间中不过同一点的三条直线，则“两两相交”是“共面”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由，，，在同一平面，则，，，相交或，，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【详解】空间中不过同一点的三条直线，，，若，，在同一平面，则，，相交或，，有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．所以“，，在同一平面”成立，则“，，两两相交”不一定成立；而若“，，两两相交”，则“，，在同一平面”成立．故“，，两两相交”是“，，共面”的充分不必要条件，故选：A【点睛】方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.3．若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ）A．－4 B．－3 C．4 D．3【答案】D【分析】根据导数的运算公式以及切线的几何意义求解.【详解】因为，所以，当时，，所以曲线在点处的切线的斜率等于3，所以直线的斜率等于，即，解得，故选:D.4．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，对照四个选项一一判断.【详解】对于A，由，，得或与相交，故A错误；对于B，若，，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B错误；对于C，若，由线面垂直的性质定理知，所以C正确；对于D，若，则与可能相交，也可能平行，所以D错误.故选：C.5．已知数列的前项和为.若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可得结果.【详解】由得：，数列是以为首项，为公差的等差数列，.故选：C.6．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(注：素数也叫做质数)猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数，从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】以内的素数有四个，而以内的孪生素数有，根据古典概型的概率公式计算即可.【详解】由题知，以内的素数有，，，，则是，，，，符合孪生素数的有，则所求概率为.故选：C7．设经过点的直线与抛物线相交于两点，若线段中点的横坐标为，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用抛物线焦点弦长公式直接求解即可.【详解】由抛物线方程知：为抛物线的焦点；设，线段中点的横坐标为，，直线过抛物线的焦点，.故选：B.8．若椭圆的离心率为，则的值为（    ）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】考虑和两种情况，根据离心率的公式计算得到答案.【详解】当时，离心率为，解得；当时，离心率为，解得.综上所述：或.故选：D9．在公差大于的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的前项和为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设等差数列的公差为，则，根据题中条件可得出关于的方程，求出的值，可得出数列的通项公式，再利用并项求和法可求得数列的前项和.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，，所以，，，因为、、成等比数列，则，即，即，因为，则，所以，，对任意的，，所以，的前项和为.故选：A.10．若是函数的一个极值点，则当时，的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求导，利用求得，再利用导数的符号变化确定函数在的单调性和极值，与端点函数值进行比较确定最小值．【详解】因为，所以，由题意，得，解得，即，，所以在单调递增，在区间上单调递减，又，，所以的最小值为．故选：A.11．已知两圆和恰有三条公切线，若， ，且，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据公切线条数，则两圆外切，根据圆的位置关系，得到的等量关系，再根据均值不等式求最小值即可.【详解】因为两圆和恰有三条公切线，故两圆外切，则圆心到圆心的距离等于半径和半径1的和，即，整理得，故当且仅当时，即时取得最小值1.故选：B.【点睛】本题考查两圆的位置关系，以及利用均值不等式求和的最小值，属综合中档题.12．在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（   ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据得出E、F坐标关系式，利用函数求最值即可.【详解】如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设，则，，，当时取得最大值.故选：B13．已知函数的定义域为，其导函数是. 有，则关于的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性与定义域可求得原不等式的解集.【详解】构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，因为，则，由可得，即，所以，，解得，因此，不等式的解集为.故选：A.14．关于曲线有下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②曲线C关于原点对称；③曲线C上任意一点的横坐标不大于1；④曲线C上任意一点到原点的距离不超过.其中所有正确结论的个数是（  ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据曲线方程，由对称性设点代入检验是否符合曲线方程可判断①②，由判别式可取特殊点代入排除③，由两点距离公式及基本不等式可判定④.【详解】设曲线上一点，则，设A关于y轴对称的点为，将点B代入曲线C可得，随变化的值不一定始终为1，故①错误；同理，设A关于原点对称的点为，将点B代入曲线C可得恒成立，故②正确；由曲线方程可化简得，令，可得，即曲线C上有一点，故③错误；易知：，故④正确.故选：B 二、填空题15．某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为________．【答案】4【分析】先算抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得.【详解】，应抽取的大型城市个数为个．故答案为：4．16．已知直线与圆，则圆上的点到直线的距离的最小值为__________.【答案】【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线的距离减去半径.【详解】由圆方程得：圆心，半径，圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最小值为.故答案为：.17．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为55米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为_________.【答案】【分析】设双曲线的标准方程，利用条件确定，进而利用离心率公式求解即可.【详解】如图，以冷却塔的轴截面所在平面建立的平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，则由题知，点横坐标为，，点的横坐标分别为，则设点的坐标为，所以，解得，，因冷却塔总高度为55米，所以，，所以，故所求双曲线的离心率为：.故答案为：18．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程，求得.类比上述过程，则_____.【答案】【分析】类比已知中的过程直接构造方程求解即可.【详解】类比已知中的过程，可知的值即为方程的解，，解得：，即.故答案为：.19．已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【答案】【分析】由，且，利用正弦定理可得：．利用余弦定理可得，结合解得．由余弦定理，基本不等式可求出的最大值，进而可求三角形面积的最大值．【详解】解：由，且，利用正弦定理可得：，即．∴∵．∴.∴，即，当且仅当时等号成立，∴面积，当且仅当时等号成立．故答案为：．【点睛】本题考查了解三角形、正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、数列递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是_____.【答案】【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解.【详解】，令得，时，时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，若函数在上有最小值，则其最小值必为，则必有且，解得，故答案为：. 三、解答题21．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)估计居民月均用水量的中位数；(3)设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数，并说明理由.【答案】(1)0.30(2)(3)162000，理由见解析 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求解；（2）利用中位数的定义求解；（3）利用样本估计总体.【详解】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在中的频率为,同理，在中的频率分别为.由，解得.（2）由频率分布直方图得：,, 所以中位数应落在，设中位数为x，则，解得，估计居民月均用水量的中位数约为.（3）由（1）知，100位居民每人月均用水量不低于2.5吨的频率为.由以上样本的频率分布，可以估计全市60万居民中月均用水量不低于2.5吨的人数为22．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为6.(1)求动圆圆心的轨迹方程；(2)设不与轴垂直的直线与点的轨迹交于不同的两点，.若，求证：直线l过定点.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设动圆圆心为，利用垂径定理列方程即可得轨迹方程；（2）设，将其和轨迹C联立，得到根与系数的关系，代入，可得的关系，代入，即可找到定点．【详解】（1）设动圆圆心为，，到x轴距离为，x轴截得半弦长为3,则，化简得；所以动圆圆心M的轨迹方程为.（2）易知直线l的斜率存在，设，则由，得，,由韦达定理有：，.从而，即，则,则直线，故直线过定点.23．如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，E，F分别是，的中点.（1）记平面与平面的交线为l，试判断直线l与平面的位置关系，并加以证明；（2）设，求二面角大小的取值范围.【答案】（1）平行，详见解析；（2）.【分析】（1）先证平面，再证，最后得出l平面；（2）设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，FB，易得，，可得是二面角的平面角，再由的范围得出二面角的取值范围.【详解】（1），平面，平面，平面，又平面，平面与平面的交线为l，所以，而l平面，平面，所以l平面；（2）设直线l与圆O的另一个交点为D，连接DE，FB，如图：由（1）知，BDAC，而，所以，所以平面，所以，而，所以平面PBC，又FB平面PBC，所以，所以就是二面角的平面角，因为，点F是的中点，所以，故，注意到，所以，所以，因为，所以，所以二面角大小的取值范围为.【点睛】本题考查线面平行的判定，考查二面角的求法，考查逻辑思维能力，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.24．已知函数有两个不同的极值点.（1）求的取值范围.（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.【答案】（1）（2）（3）没有最小值.见解析【解析】（1）先求得函数的定义域和导函数，结合一元二次方程根的分布求得的取值范围.（2）根据（1）求得，求得的表达式，并利用导数求得这个表达式的取值范围.（3）由（2）假设，，则，求得的表达式，并利用导数研究这个表达式的单调性，由此判断出这个表达式没有最小值，也即没有最小值.【详解】（1）定义域为，.因为有两个不同的极值点，且，所以有两个不同的正根，，解得.（2）因为，不妨设，所以，，所以.令，则，所以在上单调递增，所以，即的极大值与极小值之和的取值范围是.（3）由（2）知.因为，所以，所以.因为，所以.令，则，所以在上单调递减，无最小值，故没有最小值.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.