2022-2023学年四川省资阳市资阳中学高二上学期期中数学（文）试题含解析

这是一份2022-2023学年四川省资阳市资阳中学高二上学期期中数学（文）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省资阳市资阳中学高二上学期期中数学（文）试题 一、单选题1．椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆方程确定则可求椭圆的离心率.【详解】解：由椭圆，得，所以所以离心率.故选：A.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（    ）A．圆柱 B．三棱台 C．圆台 D．圆锥【答案】C【分析】由已知，得到几何体为旋转体，结合俯视图得到几何体是圆台．【详解】解：由俯视图得到几何体为圆台；故选：C．3．若直线始终平分圆的周长，则a的值为（    ）A．4 B．6 C．-6 D．-2【答案】C【解析】利用圆的性质可得直线平分圆的周长，必经过圆心，根据圆的一般方程的到圆心坐标，代入直线方程求得的值.【详解】圆的圆心坐标为,直线平分圆的周长，必经过圆心，点在直线上，，故选：C.【点睛】根据圆的一般方程求圆心坐标，的圆心坐标为.4．已知水平放置的的直观图如图所示，，，则边上的中线的实际长度为（    ）A．5 B． C． D．【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则即可求解【详解】的实际图形应是直角三角形，两条直角边长分别是4和3，斜边上的中线长度为故选：C5．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由焦点在轴上的椭圆的标准方程即可得到答案.【详解】由题意得，，解得.故选：A.6．圆与直线的位置关系为（    ）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C【分析】先求得直线所过的定点，再判断点与圆的位置关系，由此可知直线与圆的位置关系.【详解】因为直线方程为，所以令，则，即直线过定点，因为圆的方程为，故将代入得，所以点在圆的内部，故直线与圆相交.故选：C.7．设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（    ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】根据面积公式可知当为上或下顶点时，面积取最大值，求出点坐标，由数量积公式即可求出结果．【详解】根据对称性不妨设点， 因为所以则面积为当时，面积取最大值，此时，又则，所以故选：C．8．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，以下命题：①若m∥，m⊥，则⊥；②若，则；③若⊥，m∥，n∥，则m⊥n；④若，则.其中正确的是（    ）A．①④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】对于①，根据线面平行性质，结合面面垂直的判定定理，可得答案；对于②、③，利用线面垂直判定定理，举反例，可得答案；对于④，根据线面平行的性质，结合异面直线的定义，可得答案.【详解】对于①，由m∥，则存在直线，使得，，，则，故①正确；对于②，当时，存在，此时，，且，，则，，符合条件，故②错误；对于③，由，则，当，且，时，，，符合条件，故③错误；对于④，由，则任意直线，直线与直线之间的位置关系为异面或平行，，且，，故④正确.故选：A.9．过点作斜率为的直线与椭圆相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则的值为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用点差法即可求得关系，进而求得的值.【详解】设，则，两式相减得又，，则，则，.故选：A10．如图，圆形纸片的四分之一扇形（阴影部分）是圆锥A的侧面展开图，其余部分是圆锥B的侧面展开图，则圆锥A与圆锥B的表面积之比为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆锥的侧面积可得两圆锥的底面圆半径关系，进而根据表面积公式即可求解.【详解】设圆的半径为r，圆锥A与B的底面半径分别为，由题意知,解得,圆锥A的表面积，圆锥B的表面积，故．故选:B11．如图，正方体中，O为底面的中心，E，F分别为棱，的中点，经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为（    ）A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形【答案】A【分析】通过作图的方式确定，从而判断出点，，，确定一个平面，从而判断出经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面是什么四边形.【详解】如图，因为正方体中，O为底面的中心，E，F分别为棱，的中点所以在中，，因为正方体，所以所以，而点在直线上所以点，，，确定一个平面，所以经过E，F，O三点的平面与正方体相交所成的截面为平面，即确定的平面是梯形故选：A12．已知三棱锥的直观图及其部分三视图如图所示，若三棱锥的四个面中面积最大的一个三角形面积是，则三棱锥的外接球体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得：底面，是边长为的等边三角形，从而得到侧面的面积最大，设，根据求出．设三棱锥的外接球的半径为，利用球的性质、勾股定理即可得出．【详解】解：由已知可得：底面，是边长为的等边三角形，可得侧面的面积最大，设，则，解得（负值舍去）．设三棱锥的外接球的半径为，则，即．三棱锥的外接球的体积．故选：C． 二、填空题13．已知椭圆两个焦点为、，过的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为______．【答案】20【分析】根据椭圆的标准方程，求出a的值，由的周长是求出结果．【详解】椭圆，∴，的周长是，故答案为∶20﹒14．已知圆与圆恰有两条公切线，则实数的取值范围________．【答案】【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果.【详解】由，即，可知圆的圆心为，半径为；因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交，则，∵，解得：，即的取值范围是.故答案为：.15．已知正三棱锥P—ABC的侧面是顶角为，腰长为2的等腰三角形，若过A的截面与棱PB、PC分别交于点D、E，则截面△AED周长的最小值为______.【答案】【分析】画出正三棱锥的侧面展开图，利用两点之间线段最短得出截面△AED周长的最小时线段的长，再利用勾股定理可求得的值.【详解】由题意可得此三棱锥的侧面展开图如图所示，则△AED周长为，由于两点之间线段最短，所以当位于如图位置时，截面△AED周长的最小，即为的长，因为，所以，因为，所以，所以截面△AED周长的最小值为，故答案为：.16．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________．①直线平面②三棱锥的体积为定值③异面直线AP与所成角的取值范围是④直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】①②④【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.【详解】对于①，连接，，，，平面，平面，平面，平面，，同理，，，平面，平面，直线平面，故①正确；对于②，∥，平面，平面，∥平面，点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确；对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，当点位于点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故③错误；对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确.故答案为：①②④ 三、解答题17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；(2)经过点和点．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由条件求出的值即可，（2）设椭圆的方程为，然后将点代入求解即可.【详解】（1）因为椭圆的一个焦点坐标为（2，0），短轴长为2；所以椭圆的焦点在轴上，设其方程为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为，（2）设椭圆的方程为，因为椭圆经过点和点，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.18．如图,在三棱锥中,,D,E分别是的中点．(1)求证：平面;(2)求证：平面．【答案】(1)见解析,(2)见解析. 【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明线面平行;(2)根据线面垂直的判定定理证明线面垂直.【详解】（1）证明：由题知D,E分别是的中点,,平面平面,平面,得证;（2）证明：由题知,D是的中点,,平面,平面且,故平面得证.19．如图，已知点P在圆柱的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA＝2，∠AOP＝120°，三棱锥的体积为．(1)求圆柱的表面积；(2)求异面直线与OP所成角的余弦值．【答案】(1)24π；(2)． 【分析】(1)连接BP，根据AP⊥PB求出△APB的面积，根据三棱锥的体积公式求出圆柱的高，根据圆柱结构特征即可求其表面积；(2)取中点，连接，根据三角形中位线可得∥，可得或它的补角为所求角，由余弦定理即可得结果．【详解】（1）连接BP，∵AB是圆O的直径，∴AP⊥BP．由题意，在中，，∴易知，在中，，∴，∵三棱锥的体积为，∴由解得，故圆柱的表面积为：．（2）取中点，连接，则∥，且．∴或它的补角为异面直线与所成的角，又，∴，在△OPQ中，由余弦定理得，，异面直线与所成角的余弦值为．20．已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动．(1)求线段AB的中点P的轨迹的方程；(2)设圆与曲线的两交点为M，N，求线段MN的长；【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为，且点是线段的中点，利用代入法可得轨迹方程；（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程,再由弦长公式可求得结果【详解】（1）设，，点A在圆，所以①，因为P是A，B的中点，所以，即②，将②代入①得，即P的轨迹方程为：；（2）联立方程和，得MN所在公共弦所在的直线方程，圆的圆心为，半径，设到直线MN的距离为d，则,所以，；21．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，平面ADE⊥平面ABCD，AB＝2AD＝2EF＝4，．(1)求证：；(2)求直线AE与平面BCF所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】(1)根据题意可得，利用线面平行判定定理证明平面，结合图形即可证明；(2)取的中点，的中点，连接，则、，利用线面垂直的判定定理和性质证得，建立如图空间直角坐标系，利用向量法即可求出线面角的正弦值.【详解】（1）因为四边形为矩形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以；（2）取的中点，的中点，连接，则，由，得，且，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由平面，得，建立如图空间直角坐标系，，则，设为平面的一个法向量，则，令，得，所以，，设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.22．已知圆和定点，动点在圆上．(1)过点作圆的切线，求切线方程；(2)若满足，求证：直线过定点．【答案】(1)或(2)证明见解析 【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解即可；（2）分类讨论直线斜率存在与否的情况，联立直线与圆的方程，直接求得或由韦达定理化简，从而证得直线过定点.【详解】（1）因为圆，所以圆心，半径，当直线斜率不存在时，直线为，易得圆心与的距离为，则直线与相离，不满足题意；当直线斜率存在时，设切线方程为，即，则，解得或，所以切线方程为或，即或.（2）若直线斜率不存在，由对称性得，又，所以，故直线为，联立，解得或（舍去），故，则，直线方程为，若直线斜率存在，设直线方程为，联立，消去，得，所以，，，而，化简得，解得或，当时，直线为，显然过点，不符合题意，舍去，故，直线为，显然过定点，而直线也过，综上：直线过定点.