2022-2023学年安徽省池州市第一中学等2校高二下学期3月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年安徽省池州市第一中学等2校高二下学期3月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省池州市第一中学等2校高二下学期3月月考数学试题 一、单选题1．过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.【详解】依题意，直线l的斜率，故直线l的方程为，即，故选：B.2．在数列，，，，…，，…中，是它的（    ）A．第8项 B．第9项 C．第10项 D．第11项【答案】C【分析】根据通项公式列方程求解即可.【详解】令，化简得，解得n=10.故选：C.3．已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，即，则，则x=2，，，解得.故选：D.4．已知双曲线的渐近线方程为，若双曲线C的焦点到渐近线的距离为12，则双曲线C的焦距为（    ）A．30 B．24 C．15 D．12【答案】A【分析】根据点到直线的距离公式求出，即可得解.【详解】依题意，右焦点到渐近线的距离，解得，所以双曲线C的焦距为30.故选：A.5．已知直线l的方向向量，平面α的法向量，平面β的法向量，若直线平面α，则直线l与平面β所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线与平面平行则直线垂直于平面的法向量，结合空间向量垂直的坐标公式可得，进而可得直线l与平面β所成角的正弦与余弦值.【详解】依题意，，得，故；而直线l与平面β所成角的正弦值，故所求余弦值.故选：A6．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答.【详解】令，，因为，则，因此函数在上单调递减，则，解得，所以的解集为.故选：C7．若点在圆上，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，故在直线上，又点在圆上，则直线与圆有公共点，圆心到直线距离小于等于半径，解不等式即可.【详解】圆化成标准方程为，圆心，半径为4；设，故在直线上，又点在圆上，则圆心到直线的距离，即，故，解得，则的取值范围为.故选：B.8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在椭圆上，且，若，则椭圆Γ的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】作N关于原点的对称点C，可得四边形为平行四边形，根据椭圆的定义和勾股定理，可证，在中，由勾股定理列出齐次式即可求解．【详解】如图，作N关于原点的对称点C，连接、、、NC， ，故四边形为平行四边形；而，，则，，，则，；因为，所以，在中，，即，有，则.故选：C. 二、多选题9．已知直线，则下列说法正确的是（    ）A．直线与直线l相互平行 B．直线与直线l相互垂直C．直线与直线l相交 D．点到直线l的距离为【答案】ACD【分析】对于选项ABC，根据直线与直线位置关系的判断方法，逐一对各个选项分析判断即可判断出选项ABC的正误；对于选项D，直接利用点到线的距离公式即可得到结果.【详解】因为直线，斜率，纵截距为，选项A，因为直线，斜率为，纵截距为，所以，，故直线相互平行，故A正确；选项B，因为直线，斜率为，所以，故直线相交但不垂直，故B错误；选项C，由，解得，所以直线的交点为，故C正确；选项D，根据点到直线的距离的公式知，到直线l的距离，故D正确；故选：ACD.10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数的极值点个数可能为0，1，2B．若函数有两个极值点，则C．若，则函数在上的最小值为D．若，则函数在上的最大值为2【答案】BD【分析】先对函数求导，对于选项AB，利用函数极值点的定义，将极值点个数转化成通过方程的解来判断，并且解的两侧导数值符号要异号，从而可判断出选项的正误；对于选项CD，可通过直接求出最大值和最小值，从而判断出选项的正误.【详解】依题意， 选项A，因为的解的个数为0，1，2，根据函数极值点的定义知，当方程无解时，恒成立，此时函数无极值点，当方程只有一个解时，解的左右两侧导数值均大于0，此时函数无极值点，当方程有两解时，函数有两个极值点，故选项A错误；选项B，若函数有两个极值点，则有两个不同的解，由，解得，故选项B正确；选项CD，当时，，由，得到或，由，得到，即函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，，故函数在区间上的最小值为0，最大值为2，故C错误，D正确；故选：BD.11．已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值.【详解】依题意，，，，，故A正确；，故B错误；，则，故C错误；，故D正确；故选：AD.12．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于，两点，且，则下列说法正确的是（    ）A．直线l的倾斜角为30°或150° B．C．或3 D．的面积为【答案】ACD【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线的方程联立，再逐项分析、计算判断作答.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，设直线，由消去y得：，则，B错误；，解得，因此直线l的倾斜角为30°或150°，A正确；显然，而，解得或，所以或3，C正确；原点到直线的距离，的面积，D正确.故选：ACD 三、填空题13．已知函数，则______.【答案】/【分析】求出，将代入的表达式，可求出的值，可得出函数的解析式，即可得出的值.【详解】因为，则，所以，，解得，所以，，因此，.故答案为：.14．已知点，若，两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.【答案】3【分析】先求与方向相同的单位向量，然后由公式可得.【详解】依题意，而，故与方向相同的单位向量为，则所求距离.故答案为:315．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中记录了“三角垛”的变化情形，如图所示，三角垛的第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，⋯，以此类推；设第n层有个球，则=______.【答案】【分析】根据题意可得，利用累加法求，再利用裂项相消法求和.【详解】由题意可得：，当时，则，累加可得，所以，且，满足上式，故，可得，则.故答案为：.16．已知圆C过点，，，直线与圆C交于M，N两点，则的取值范围为______.【答案】【分析】根据圆所过的点求圆的方程并确定圆心，由直线确定其所过的定点，判断定点与圆的位置关系，即知直线与圆的位置关系，进而求的取值范围.【详解】设圆，则，解得，所以，即，则圆心；而直线过定点且在圆C内部，故，当时，，当过圆心时，，所以|MN|的取值范围为.故答案为： 四、解答题17．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间和极值.【答案】(1)(2)在和上单调递增，在上单调递减；极大值为，极小值为 【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式得切线方程.（2）利用导数函数的单调区间和极值.【详解】（1）由，有，则，，故切点坐标为，切线斜率为12，切线方程为，即；（2）令，解得x=0或x=1，故当时，，当时，，当时，故函数在和上单调递增，在上单调递减；故函数的极大值为，极小值为.18．已知等差数列的前n项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，，根据等差数列通项公式和前项和公式列方程组求出和d，即可求得数列的通项公式；（2）求出等差数列前项和，利用函数性质求出最小值，即可得实数λ的取值范围.【详解】（1）设等差数列的公差为d，则解得故（2）由（1）可知，，令，可知二次函数的对称轴为，而，故当时，有最小值‑15，故，即实数λ的取值范围为.19．已知正方体如图所示，其中AB=2，点E在线段上，点O为线段AC的中点，且.(1)求的值；(2)求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】(1)1(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由，利用向量垂直的坐标表示可解；（2）由向量法求解可得.【详解】（1）以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系；因为，，，，；则，；因为，故，即，解得，则；（2）易知为平面的一个法向量；设是平面的法向量；因为，，由取，则为平面的一个法向量，记平面与平面的夹角为θ，则.20．已知等比数列的前n项和为，其中，且.(1)求数列的通项公式以及前n项和；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】(1)由求出，再由求出,即可代入等比数列的通项公式和前项和公式求解.(2)把(1)求出的代入得到的通项公式，再用错位相减法即可求前项和.【详解】（1）记等比数列的公比为q，显然，否则；故，解得，故，则，；（2）依题意，；故，故，两式相减可得，，则.21．已知函数.(1)若函数有2个零点，求实数m的取值范围；(2)若m=0，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）将函数有2个零点转化为方程有两个实根，参变分离，转化为函数与有两个交点，利用导数讨论的单调性，结合图象可得；（2）将不等式转化为，记，利用导数求的最大值可证.【详解】（1）令，故，显然，故，则，，故当时，，当时，，故函数在上单调递减，在上单调递增，又当时，x趋于时趋于0，而，作出函数的大致图象如图所示，观察可知，，解得，故实数m的取值范围为；（2）要证：，即证：；令；即证：；①当，即或时，；②当时，即时，，所以当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，，综上所述，，即.22．已知椭圆C过点，；过原点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)记椭圆C的右焦点为F，分别延长MF，NF交椭圆C于M'，N'两点，探究：直线M'N'是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)过定点， 【分析】（1）设出椭圆方程，通过代点求出系数，得到椭圆方程.（2）分别设直线M'N'、直线MF和直线NF的方程，与椭圆联立方程组，设，，，，利用韦达定理消元化简，可得直线M'N'过的定点.【详解】（1）设椭圆，则解得故椭圆C的标准方程为；（2）如图所示：设直线M'N'的方程，，，，由，得，，，，设直线MF的方程，其中，，由得，，，则，设直线NF的方程，其中，，由得，，，则，所以，所以，所以，，则，即，代入，，得，整理得，又，所以，直线M'N'的方程为，过定点.