2022-2023学年吉林省长春市第六中学高二下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年吉林省长春市第六中学高二下学期4月月考数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市第六中学高二下学期4月月考数学试题 一、单选题1．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(　　)A．22种 B．350种 C．32种 D．20种【答案】A【分析】从中任选一本阅读，选择的方法有三类，故选择1本书的方法需要分三种情况讨论，再利用加法原理解决问题.【详解】解：由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成三个种类，一是选择语文书，有10种不同的选法；二是选择英语书，有7种不同的选法，三是选择数学书，有5种不同的选法，根据分类计数原理知，共有10+7+5＝22种不同的选法.【点睛】本题考查分类计数原理，本题解题的关键是看清楚完成一件事包含有几类情况，计算出每一类所包含的基本事件数，进而相加得到结果.2．函数在处的导数是（　　）A．1 B． C．e D．【答案】B【分析】对函数求导，根据导函数求处的导数.【详解】由题意，，故.故选：B3．已知在等差数列中，，，则（    ）A．12 B．10 C．6 D．4【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答.【详解】在等差数列中，，得，公差，所以.故选：C4．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，且函数解析式为，要使利润最大，则该产品应生产（    ）A．6千台 B．7千台 C．8千台 D．9千台【答案】A【解析】构造利润函数，求导，判断单调性，求得最大值处对应的自变量即可.【详解】设利润为y万元，则，∴.令，解得（舍去）或，经检验知既是函数的极大值点又是函数的最大值点，∴应生产6千台该产品.故选：A【点睛】利用导数求函数在某区间上最值的规律：(1)若函数在区间上单调递增或递减，与一个为最大值，一个为最小值．(2)若函数在闭区间上有极值，要先求出上的极值，与，比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．5．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C，D四人在自由式滑雪和花样滑冰这两项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ）A．8种 B．12种 C．16种 D．24种【答案】C【分析】每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，根据分步乘法原理可得答案.【详解】由题意可知：每一人都可在两项运动中选一项，即每人都有两种选法，可分四步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有2×2×2×2=16种，故选：C6．已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（    ）A．1 B．3 C．1或3 D．2或【答案】B【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案.【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，所以，解得或，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，当时，，令，解得或，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以在处取得极大值，故满足题意综上.故选：B【点睛】易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案.7．已知双曲线C：的右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线左右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】设，根据题意结合双曲线的定义可得，分别在、中，利用余弦定理运算求解.【详解】设左焦点为，连接，设，则，∵，则有：在中，由余弦定理，即，整理得，在中，由余弦定理，即，整理得，可得，注意到，即，整理得，故离心率.故选：D.8．已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式中出现的指数式，对数式，故可以考虑同构，将原不等式变形为，以实现不等式左、右两边统一于函数，再利用导数研究函数的单调性，从而由可得，再分离参数求最值即可.【详解】因为对任意的，不等式恒成立，即对任意的恒成立，即对任意的恒成立，设，则，因为，又，所以，所以在上单调递增，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以.故选:A 二、多选题9．（多选）已知，函数在上是单调增函数，则的可能取值是（    ）.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】对函数进行求导，根据函数在上是单调增函数，可以得到在上，恒成立，结合二次函数的最值求出的取值范围，最后选出正确答案即可.【详解】由题意得，因为函数在上是单调增函数，所以在上，恒成立，即在上恒成立，因为当时，二次函数的最小值为所以.故选：ABC【点睛】本题考查了已知函数的单调区间求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.10．已知函数，下列判断正确的是（    ）A．的单调减区间是， B．的定义域是C．的值域是 D．与有一个公共点，则或【答案】ABD【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.【详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确；对A，，令可得和，解得和，故的单调减区间是，，故A正确；对C，由A可得当和时单调递减，当时单调递增，且，作出简图，可得的值域是，故C错误；对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确；故选：ABD11．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是(    )A．当时，在单调递增B．当时，在处的切线方程为C．当时，在上至少有一个零点D．当时，在上不单调【答案】ABD【分析】A．代入m＝1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；B﹒代入m＝1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；C﹒代入m＝－1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；D﹒判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调．【详解】①当时，，，当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确；∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确；②当m＝－1时，，，令，则，当x＞0时，＞1，－1≤cosx≤1，∴＞0，∴在上单调递增，∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误；当，时，cosx＜0，＞0，∴＞0，∴在，单调递增，又，而，∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得，当，时，，单调递减，当，时，，单调递增，∴在，上不单调，故D正确．故选：ABD.12．定义在上的函数满足，（若，则，为常数），则下列说法正确的是（    ）A．在处取得极小值，极小值为B．只有一个零点C．若在上恒成立，则D．【答案】BCD【分析】对A，根据 ，，求出 ，进而可求出导数，根据极值定义进行判断；对B，根据单调性和零点定义，结合图像判断；对C，要保证 组成立，即，通过构造函数求其最值，进行判断；对D，根据单调性，和对数比较大小，进行判断.【详解】对于A，∵ 且，可得 ，则有 故（c为常数)，又，则，得，故, 当，即 解得： , ，此时单调递增，当，即 解得 ，当，即 解得： ，此时单调递减，∴ 取得极大值， 故A错误；对于B， ，，画出草图，如图：根据图像可知：只有一个零点，故B正确；对C，要 在上恒成立即： 在上恒成立，  ，可 在上恒成立，只需， 令， ，当，；当时， ；， ；则 即： ，故C正确；对于D，根 单调递增， ，单调递减， 可得    。故 故D正确；故选：BCD.【点睛】思路点睛：利用导数求解函数的极值，构造函数法求解函数解析式，函数零点个数判断，利用函数单调性解不等式等知识点，其中对于构造函数法对函数基本模型要求高，在解题过程中要注重积累，不等式恒成立问题的求参往往采用分离参数法，转变成求解函数最值问题. 三、填空题13．函数在上的最小值为___________.【答案】【分析】利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最值.【详解】，令，即，解得，令，即，解得， 所以函数在上单调递减；在上单调递增；所以.故答案为：14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】由有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，用导数研究的图像即可求解【详解】由题意，有两根，且两根的两边导函数值异号，又，令，则有两个不同的实数根，令，则，令有，故当时，，单调递减；当时，，单调递增.且当时，当时，且，，故作出图象.可得当有两根时故答案为：15．已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________．【答案】【分析】根据题意转化为 ，求导函数，分别求出函数的最大值，的最小值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．【详解】由，可得，当，，所以在单调递减，，，在上单调递增，，对任意的，都有成立，，，故答案为：．16．医学上常用基本传染数来衡量传染病的传染性强弱，其中，表示t天内的累计病例数．据统计某地发现首例A型传染性病例，在41天内累计病例数达到425例，取，，根据上面的信息可以计算出A型传染病的基本传染数R．已知A型传染病变异株的基本传染数（表示不超过R的最大整数），平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染，以此类推），则感染人数由1个初始感染者增加到9000人大约需要的天数为________天．（参考数据：，，）【答案】56【分析】根据题目信息求出，由等比数列求和得感染者总数，假设感染人数由个初始感染者增加到人大约需要轮传染，建立不等关系求得的取值范围，进而求得结果.【详解】由，，可以得到.型传染病变异株的基本传染数，感染人数由个初始感染者增加到人大约需要轮传染，则每轮新增感染人数为，经过轮传染，总共感染人数为:，因为，由题意可得，即，因为，故解得，又因为平均感染周期为天，所以感染人数由个初始感染者增加到人大约需要天.故答案为：56 四、解答题17．已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间.【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.【解析】（1）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解.【详解】函数的定义域为，，求导，.由点斜式得切线方程为：，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）由（1）知，，令，得，.当x变化时，，的变化情况如下表：x30单调递减极小值单调递增所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的单调区间，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.18．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）取中点为，连接，，进而证明四边形为平行四边形即可证明结论；（2）取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；【详解】（1）证明：取中点为，连接，，如图所示，因为，分别是，的中点，所以且，又因为且，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面．（2）解：取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，设平面的法向量为，因为，，所以，令，解得，即，记平面与平面夹角为，，则，，所以二面角的正弦值为．19．在等差数列中，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）若____，求数列的前项和.在①，②，③这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）设等差数列的公差为，然后根据条件建立方程组求解即可；（2）若选条件①，用裂项相消法求解，若选条件②，用分组求和法求解，若选条件③，用错位相减法求解.【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，则，解得，，.（2）方案一：选条件①由（1）知，，.方案二：选条件②由（1）知，，，当为偶数时，，，当为奇数时，为偶数，，，；方案三：选条件③由（1）知，，，，两式相减，可得..【点睛】本题考查的是等差数列的基本运算和数列求和的方法，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.20．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意得，分类讨论参数、时的符号，进而确定的单调性；（2）由（1）知：时，构造，利用导数研究单调性并求最值，即可证明结论.【详解】（1）函数的定义域为，且．当时，，在上单调递增；当时，若时，则，在上单调递增；若时，则，在上单调递减．（2）由（1）知，当时，．要证：，只要证：，即只需证，令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增．，即恒成立，，得证．21．已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．(1)求椭圆C的标准方程(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)标准方程为．(2)直线l过定点 【分析】（1）由三角形的中位线性质可得四边形OMPN的周长即为2a，椭圆的右顶点到右焦点的距离为a－c， 联立即可得椭圆方程；（2）分类讨论斜率存在与斜率不存在，当斜率存在时设出直线方程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，再由可得k与m的关系式，将其代入直线方程可得定点，当斜率不存在时，代入计算即可.【详解】（1）M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，，四边形OMPN的周长为，，，，椭圆C的标准方程为．（2）设，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，代入，整理得，则，．易知，，化简得，或(舍去)，直线l的方程为，即，直线l过定点．当直线l的斜率不存在时，设，代入，解得，由得，，解得或(舍去)，此时直线l过点．综上，直线l过定点．【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．22．已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）的最大值为．【解析】（1）由题意得出，进而可求得实数的值；（2）求得，由参变量分离法得出，构造函数，利用导数求出函数在区间上的最小值，进而可得出整数的最大值.【详解】（1），，函数的图象在处的切线斜率为，，即，因此，；（2）由（）知．对任意恒成立，对任意恒成立，令，则，令，则，，，在为增函数，，，存在，使，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.，故有对恒成立．，，因此，的最大值为．【点睛】本题第（1）问考查切线问题，较基础；第（2）问考查恒成立问题，使用适当的变换，可以归结为函数的最值问题．需要注意的是，这里需要用到设而不求的未知数的技巧，主要考查了转化与化归思想的使用，数形结合能力和运算求解能力，对考生的要求较高，属难题．