2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二下学期4月月考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市实验中学高二下学期4月月考数学试题 一、单选题1．已知函数则函数的导函数为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数运算求得正确结果.【详解】依题意.故选：B2．曲线在点处的切线方程是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对求导，利用导数的几何意义求在点处的切线的斜率，进而求出切线方程.【详解】，，当时，，在点处的切线方程为：，即：.故选：A.3．某滑雪运动员在一次滑雪训练中沿街的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则该运动员的滑雪路程为时的滑雪速度为（单位：）（    ）A．44.5 B．12.5 C．11 D．9.5【答案】D【分析】利用导数求得正确答案.【详解】由得，解得，负根舍去，.故选：D4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球（标号为1和2）2个绿色球（标号为3和4）,从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件概率公式即可求解.【详解】从袋中不放回地依次随机摸出2个球，设第一次摸到红球为事件，则，设两次都摸到红球为事件，则，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为.故选：A.5．设为曲线上的点，且曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为A． B． C． D．【答案】A【详解】因为,又因为曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为，则切线的斜率，所以,解得，故选A.6．设，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由知，只需比较的大小就可得，，的大小关系.【详解】由知，只需比较的大小，又，所以，而，所以，综上得：，所以.故选：C.7．已知函数和都是定义域为的函数，且满足，且恒成立，那么当时，一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由可得在上单调递增，即可判断A，C，D； 举反例可判断B.【详解】由可得：，令，，所以在上单调递增，若，则，所以，因为，所以恒为正或恒为负，所以，，，所以，所以，故D不正确；，，，，故，故C正确，A不正确；对于B，若恒为正，且单调递减，则，由，若恒为正，且单调递增，则，由，则有，故B不正确；故选：C.8．若在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.【详解】令，所以，所以函数的单调增区间为，又因为在上单调递增，则是，的一个子区间，当时，即，若是的子集，则故选:D． 二、多选题9．对于函数，下列结论中正确的是（    ）A．是奇函数 B．在区间上单调递减C．在处取得极大值 D．函数的值域是【答案】AB【分析】根据函数奇偶性定义即可判断是奇函数，利用导数研究函数的单调性，根据极大值概念求出极大值，结合单调性求解最值，逐项判断即可.【详解】因为对，根据奇函数定义可知函数是上的奇函数，即A正确；因为，则，令可得或，令可得，所以函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，故C错误；由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，如图：故D错误.故选：AB10．函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．函数在处有极小值B．函数在处有极小值C．函数在区间内有4个极值点D．导函数在处有极大值【答案】BD【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识求得正确答案.【详解】A选项，在左右两侧的，所以不是的极值点，A选项错误.B选项，在左右两侧，左侧，右侧，所以函数在处有极小值，B选项正确.C选项，根据图象可知，有个极值点，左右两侧的，所以不是的极值点，C选项错误.D选项，的图象在左右两侧，左侧单调递增，右侧单调递减，所以在处有极大值，D选项正确.故选：BD11．对于随机事件，，下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据条件概率概念及公式判断选项A、B、C，再根据概率一般加法公式判断选项D.【详解】对于A选项，，，故当时，才有，故A错误；对于B选项，由得，故B正确；对于C选项，，当A，B是两个相互独立的事件，有，从而，否则不成立，故C错误；对于D选项，由概率的一般加法公式得，特别的当A，B是两个相互独立的事件，有，故D正确.故选：BD12．已知，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】AD【分析】利用构造函数法，结合导数判断出正确答案.【详解】设，在区间递增；在区间递减.由得，即，由于，，，所以，所以，所以A选项正确，C选项错误.构造函数，，当且仅当时等号成立.所以在上单调递增，，所以当时，，即，所以，由于，且在上单调递增，所以，所以B选项错误.，构造函数，，所以在区间上，单调递减，所以，所以，则，所以D选项正确.故选：AD【点睛】利用导数研究不等式，可利用构造函数法，然后结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，由此来判断不等式是否正确.构造函数的方法主要是根据不等式的结构来进行构造. 三、填空题13．函数的极小值为______.【答案】/【分析】求导得到单调区间，再计算极值得到答案.【详解】，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故当时，函数有极小值为.故答案为：14．已知，，，则______.【答案】/【分析】根据条件概率公式即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以.故答案为：.15．已知定义域为的函数满足，，则不等式的解集为______.【答案】【分析】根据不等式结构构造函数，然后利用导数研究函数单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令，因为，所以，所以函数在上单调递减，因为，所以，又，所以，所以，所以不等式的解集为.故答案为：.16．已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值________.【答案】【分析】求出的导数，令x＝a，求得P的坐标，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，令y＝0，可得B的坐标，再由三角形的面积公式可得△ABP面积S，求出导数，利用导数求最值，即可得到所求值．【详解】函的导数为，由题意可令，解得，可得，即有切线的斜率为，切线的方程为,令，可得，即，在直角三角形PAB中，，，则△ABP面积为，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即有处S取得极小值，且为最小值．故答案为：． 四、解答题17．已知函数有极大值.(1)求的值；(2)求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)最大值为，最小值为 【分析】（1）求导并利用导函数的正负分析求出的单调性，即可得出当时有极大值，根据极大值为求解出m；（2）由（1）得到的解析式即单调性，在区间上求出极值和端点值，即可得到最值.【详解】（1）解：已知，则，令，即，解得或，由于，所以当时，；当时，；当，，则在区间，上单调递增；在区间上单调递减，所以当时有极大值，则，解得；（2）由（1）可知，则，令，解得或，所以在区间，上单调递增；在区间上单调递减，因为，，则，所以函数在区间上的最小值为；因为，，则，所以函数在区间上的最大值为；18．当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少.已知使用杀菌剂后的细菌数量为.(1)求细菌数量在时的瞬时变化率；(2)细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少，说明理由.【答案】(1)(2)细菌数量在上递增，在上递减 【分析】（1）利用导数求得正确答案.（2）利用导数研究的单调性，从而确定正确答案.【详解】（1）依题意，，所以，则，所以细菌数量在时的瞬时变化率为.（2）由解得，负根舍去. 由（1）得， 所以在区间上递增；在区间上递减.所以细菌数量在上递增，在上递减.19．某学校有8名学生组成志愿小分队，其中高一年级有5人，高二年级有3人，现从这8人中选出4人参加某项公益活动.(1)求高一学生甲或高二学生被选中的概率；(2)求在高一甲被选中的情况下，高二学生也被选中的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用对立事件以及概率的知识求得正确答案.（2）利用条件概型的知识求得正确答案.【详解】（1）依题意，高一学生甲或高二学生被选中的概率为：.（2）依题意，在高一甲被选中的情况下，高二学生也被选中的概率为：.20．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）设，利用导数求得的单调区间.【详解】（1），所以切点为，，，所以切线方程为.（2）设，则，所以在区间单调递减；在区间单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.21．已知函数，.(1)求证：在区间上单调递增；(2)求证：.【答案】(1)证明详见解析(2)证明详见解析 【分析】（1）利用导数证得结论成立.（2）结合（1）的结论证得不等式成立.【详解】（1），，所以在上单调递增.（2）由（1）得在上单调递增，，所以当时，，当时，，对于不等式，当时，可化为，即，由上述分析可知：当时，成立.当时，可化为，即，由上述分析可知：当时，成立.综上所述，不等式成立.22．已知函数.(1)求证：当时，；(2)求证：.【答案】(1)证明详见解析(2)证明详见解析 【分析】（1）令，利用导数求得，从而证得不等式成立.（2）结合（1）以及放缩法证得不等式成立.【详解】（1）令，，令，，所以即在区间上单调递增，，所以在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，由于，所以在区间上恒成立，所以当时，.（2）由（1）得当时，，令，则，所以.【点睛】利用导数证明不等式，可先将要证明的不等式一边化为零，然后利用构造函数法，结合导数来求所构造函数的最值，由此来证得不等式成立.当一次求导无法求得函数的单调区间时，可考虑多次求导来进行求解.