2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二下学期4月月考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二下学期4月月考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市第二中学高二下学期4月月考数学试题 一、单选题1．已知数列满足，且，则的前2023项之积为（    ）A．-3 B．-2 C． D．【答案】B【分析】根据题意可得，结合其周期性即可得到结果.【详解】，且，.则的前2023项之积为.故选:B.2．已知数列为等差数列，其前n项和为，，，若对于任意的，总有恒成立，则（    ）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】D【分析】根据题意，求得等差数列的通项公式，从而得到数列前项都是负数，从而得到结果.【详解】设等差数列的公差为，由性质知，则，且，则，令，得，即前项都是负数，所以最小，所以.故选:D3．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时的速度减小，问他至少要经过几小时才可以加强机动车（精确到小时)A．1小时 B．2小时 C．4小时 D．6小时【答案】C【分析】设n个小时后才可以驾车，由题意得方程，解得即可．【详解】设n个小时后才可以驾车，根据题意可知，每小时酒精下降的量成等比数列，公比为进而可得方程得，即，所以至少要经过4小时后才可以驾驶机动车．故选C．【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及实际应用，考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.4．如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（    ）①若数列满足，则该数列是等比差数列；②数列是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；②数列，，不满足等比差数列的定义，故②错误；③设等比数列的公比为，则，满足等比差数列，故③正确；④设等差数列的公差为，则，故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；故答案为：①③④故选：B.5．已知数列的通项公式为，若对于，数列为递增数列，则实数k的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可得，再根据当时，单调性求解即可.【详解】因为数列为递增数列，所以，即，整理得：，因为当时，单调递减，，所以.故选：C.6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（　　）A．17 B．37 C．107 D．128【答案】C【分析】根据题意可得既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，从而可求得数列的通项，即可得解.【详解】解：因为能被3除余2且被7除余2，所以既是3的倍数，又是7的倍数，即是21的倍数，且，所以，即，所以.故选：C.7．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即，这样的数列称为“斐波那契数列”.若，则（    ）A．122 B．123 C．124 D．125【答案】A【分析】根据题意得到，再利用累加法可以得到，进而可以求出结果.【详解】由从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，，得，所以，将这个式子左右两边分别相加，可得，所以.所以，可得.故选：A.8．各项均不为零的数列满足：，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用数列递推式的性质作差得到，从而推得，进而得到，由此得解.【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，因为，所以，则，又，所以，所以.故选：C. 二、多选题9．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（    ）A． B．当时，C． D．【答案】BCD【分析】根据等比数列下标和的性质和应用判断ABC，根据基本不等式的应用判断D.【详解】A选项：因为，所以，所以A不正确；B选项：因为，，则，所以，所以，所以B正确；C选项：因为，所以，所以，所以C正确；D选项：，当且仅当时，等号成立．所以D正确．故选：BCD．10．已知为等差数列，前n项和为，，公差，则（    ）A．B．当戓6时，取得最小值为30C．数列的前10项和为50D．当时，与数列共有671项互为相反数．【答案】AC【分析】根据等差数列基本量求出通项公式及，即可判断A、B；判断通项大于零时的取值，将的前10项和列出，利用和之间的关系及的公式代入即可判断C；分析中的负项的性质及大小，进而判断中项的性质及大小，计算项数即可.【详解】解：因为等差数列，且，公差，所以，，所以，，所以选项A正确；因为，根据二次函数的对称性及开口向下可知：取得最大值为，故选项B错误；记的前10项和为，因为，当时，解得，当时，解得，所以，因为，所以，所以，故选项C正确；记，因为，，所以，所以当时，，由，，可知为偶数，若与互为相反数，则，且为偶数，由，所以为偶数，即为偶数，即为偶数，即，即，且为偶数，所以，且为偶数，故这样的有670个，故选项D错误.故选：AC11．已知数列满足，则（    ）A．为等比数列B．的通项公式为C．的前项和D．的前项和【答案】ACD【分析】利用取倒数构造法、等比数列的通项公式、求和公式、以及错位相减法、分组求和法进行计算.【详解】因为，，所以，所以， ，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确；因为数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，故B错误；因为，所以，所以的前项和，故C正确；因为，所以，所以的前项和,令，则，两式错位相减得：，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12．若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互素，欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数k，且与k互素的正整数的个数，例如：，，，．下列说法正确的是（    ）A． B．数列为递增数列C． D．数列的前n项和为，则【答案】ACD【分析】根据欧拉函数的定义可判断ABC，求出可判断D.【详解】与互素的正整数有，所以，故A正确；因为，所以数列不为递增数列，故B错误；与互素的正整数有，共有个，所以，因为，所以，所以，两式相减得，所以，故D正确，故选：ACD 三、填空题13．若5是a与b的等差中项，4是a与b的等比中项，则__________；【答案】68【分析】根据等差中项与等比中项的性质得到的值，再结合完全平方公式即可得到结果.【详解】因为5是a与b的等差中项，则又因为4是a与b的等比中项，则则所以故答案为:14．在等差数列中，，其前项和为，若，则的值为________．【答案】2020【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解．【详解】解：由等差数列的性质可知，为等差数列，设公差为，，，，，，则故答案为：2020【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的简单应用，属于基础题．15．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为___________.【答案】2022【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果.【详解】由于函数为奇函数，则，即，所以，所以，所以，因此数列的前2022项和为，故答案为：202216．对于一个给定的数列，把它的连续两项与的差记为，得到一个新数列，把数列称为原数列的一阶差数列.若数列为原数列的一阶差数列，数列为原数列的一阶差数列，则称数列为原数列的二阶差数列.已知数列的二阶差数列是等比数列，且，则数列的通项公式___________.【答案】【分析】运用等比数列通项公式及累加法可求得结果.【详解】设数列为原数列的一阶差数列，为原数列的二阶差数列.则由题意可知.又为等比数列，故公比，所以，即.当时，，将代入得，符合，所以，.所以，当时，，将代入得，符合，所以，.故答案为：. 四、解答题17．已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比数列的通项公式求解即可；（2）利用裂项法求和即可.【详解】（1），解得，或（舍）（2）18．已知正项数列的前n项和为，．(1)计算，，，，根据计算结果猜想的表达式．(2)用数学归纳法证明你的结论．【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1）把分别代入依次计算，根据结果容易猜想的表达式；（2）按照用数学归纳法证明命题的两个步骤，利用，对该式朝目标化简整理即可.【详解】（1）根据为正项数列，则当时，，解得或0（舍），当时，，解得或（舍），当时，，解得或（舍），当时，，解得或（舍），故猜想.（2）①当时，显然成立②假设当，时，则当时，∴∴即：∵，，∴，即当时，结论成立.综上所述，由①②可知.19．已知数列满足，，设.(1)求证数列为等差数列，并求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析，(2) 【分析】（1）将条件等式两边同时除以后即可证明；（2）代入，然后用分组求和法求和.【详解】（1）由得，即，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即；（2）由（1）得，.20．已知数列为等差数列，是数列的前项和，且，，数列满足．(1)求数列、的通项公式；(2)令，证明：．【答案】(1)，(2)证明见解析 【分析】（1）利用等差数列基本量代换求出，利用前n项和的定义求出；（2）用错位相减法求和后即可证明.【详解】（1）设等差数列的公差为d.因为，，所以，解得：，所以.因为数列满足，所以n=1时，有，解得：.当时， ，因为，所以.经检验，对也成立，所以.（2）由（1）知，.记是数列的前项和.则①，①式同乘以得：②，①-②得：，所以因为，所以，所以.21．已知等差数列的前n项和为，且，，数列的前n项和为，且．(1)求数列，的通项公式．(2)记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)，(2)是定值，定值为 【分析】（1）求出等差数列的首项与公差，即可求得数列的通项公式，再根据即可求得的通项公式；（2）根据等比数列前项和公式可求得数列的前n项和为，利用错位相减法求得数列的前n项和为，从而可得出结论.【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得，，故，因为，所以当时，，当时，，，两式相减可得，得，由题易知，则，所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列，故；（2）由（1）可如，故，，所以，，两式相减可得，故，故，为定值．22．已知数列的前项和为(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)证明见解析，；(2)或. 【分析】（1）由递推关系变形可得，结合等差数列定义证明结论，利用等差数列通项公式求出数列的通项公式，再根据和的关系求数列的通项公式；（2）由（1）计算，判断数列 的单调性，令的最大值小于即可求解.【详解】（1）由得，又，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，，即当时，，又不满足上式，所以；（2）由（1）知，当时，；当时，，即所以的最大值为，依题意，即，解得或.