2022-2023学年辽宁省沈阳市第四十中学高二下学期4月月考数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省沈阳市第四十中学高二下学期4月月考数学试题

一、单选题

1．已知等比数列，…，各项为正且公比，则（    ）

A． B．

C． D．与的大小关系不能确定

【答案】C

【分析】作差得到，判断差的符号即得解.

【详解】，

因为，，，所以．

故选：C．

2．若数列的首项，且满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，所以该数列的周期为，

于是有，

故选：C

3．设等差数列的前项和为，若，则公差为（    ）

A． B．6 C．4 D．8

【答案】B

【分析】由等差数列的求和公式以及通项公式列出方程组，得出公差.

【详解】由题意可得，解得

故选：B

4．已知数列的通项公式an＝，则数列的前30项中最大值和最小值分别是（    ）

A．a10，a9 B．a10，a30 C．a1，a30 D．a1，a9

【答案】A

【分析】根据数列的单调性即可求解.

【详解】＝

当 时， ，为正值且随n的增大而减小，则单调递减，故数列的前30项中最大值是 ，

当时， ，为负值且随n增大而减小，则单调递减，故数列的前30项中最小值是

∴数列的前30项中最大值和最小值分别是；

故选：A.

5．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（    ）

A．2 B．4 C．2 D．4

【答案】D

【分析】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.

【详解】解：因为，

所以与的等比中项是，

故选：D.

6．已知均为等差数列的与的前n项和分别为，，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，，由，，即可求解结果．

【详解】因为，又因为，

所以可设，，

则，

所以，即.

故选：A

7．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，数列是首项为､公差为的等差数列，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的对称性首先求出函数是以2为周期的函数，且，而数列的通项公式为，则可将所求转化为，再根据函数的奇偶性可得，从而有，即可求得结果.

【详解】∵，∴，

即是以2为周期的函数，

而，∴，

又∵数列是首项为､公差为的等差数列，∴，

∴

，

又∵是定义在上的奇函数，∴，

而，∴，∴，

∴.

故选：B.

8．设正项等比数列的前n项和为，若，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】B

【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得答案.

【详解】由题意知正项等比数列满足，

设的首项和公比分别为 ，

则，即，

则，

故，

当且仅当，即时取等号，

故选：B

二、多选题

9．已知数列满足．若对，都有成立，则整数的值可能是（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】BC

【分析】根据数列以及构造不等式可得对都成立；分别对为奇数和偶数时进行分类讨论即可求得的取值范围并得出结果.

【详解】由可得，

若对，都有成立，即，

整理可得，所以对都成立；

当为奇数时，恒成立，所以，即；

当为偶数时，恒成立，所以，即；

所以的取值范围是，则整数的值可能是.

故选：BC

10．已知数列中，，，则以下说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用递推关系可得前4项，故可判断AB，利用分组求和可判断D，由题设中的递推关系可得，从而可判断C.

【详解】由及可得前四项为2，2，6，10，∴A选项正确，

而，故2，2，6不为等比数列，故B选项错误．

．故D选项正确．

因为，故，

所以，

故

，

故C选项正确.

故选：ACD．

11．已知为等差数列的前项和，，，记，，其中是高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的前项和公式和等差中项，可的，再根据和等差数列通项公式，可求出等差数列的公差为，进而求出，即可判断选项A正确；根据可得，即再利用裂项相消法即可求出，进而判断B是否正确；根据可得，，可证数列是首项为，公差为的等差数列，又相当于数列前项和，由此即可求出结果，进而判断C是否正确；根据可得，分别求出正自然数在区间，，中的通项公式，以及时的值，再求，即可判断D是否正确.

【详解】由为等差数列的前项和，所以，即；

又，设等差数列的公差为，所以，所以，

所以，故A正确；

由选项A可知，所以，

所以

，故B错误；

由选项A可知，所以，，

所以，即数列是首项为，公差为的等差数列，

所以

，故C正确；

由选项A可知，

当且时，；

当且时，；

当且时，；

当时，；

所以，故D正确.

故选:ACD.

12．已知数列的前n项和为，，.则下列选项正确的为（    ）

A．

B．数列是以2为公比的等比数列

C．对于任意的，

D．的最小正整数n的值为15

【答案】ABD

【解析】根据题设的递推关系可得，从而可得，由此可得的通项和的通项，从而可逐项判断正误.

【详解】由题设可得，

因为，，故，

所以，所以，

所以，因为，故，

所以，所以为等比数列，

所以即，故，故A对，C错.

又，故，

所以，即是以2为公比的等比数列，故B正确.

，

，

故的最小正整数n的值为15，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D是否成立时注意先考虑的值.

三、填空题

13．已知等差数列的前项和为，且，则________________．

【答案】

【分析】根据题意列出方程组，求得的值，求得数列的通项公式，得到，进而求得的值.

【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，

所以，解得，

可得3，所以，

所以，则，

所以.

故答案为：．

14．已知各项均为正数的数列满足：，前n项和为，且，数列满足对于任意正整数均有，求数列的前66项和为______．

【答案】

【分析】根据的关系求出数列通项公式，再利用等差数列求和公式求解.

【详解】由可得，两式相减得，

，则有，

因为是各项均为正数的数列，所以，

所以，即，

所以数列从第二项起为等差数列，

且，解得，

所以，首项也满足上式，

所以，

因为，

所以数列的前66项和为

，

故答案为: .

15．已知数列的前项和为，且，若存在两项，使得，则的最小值为_____________.

【答案】

【分析】先根据可得数列是首项为，公比为的等比数列，即可得到，结合可得，再结合基本不等式求解即可.

【详解】由，得，

两式相减得，

而，即，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

即.

又，即，得，

所以，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为.

故答案为：.

16．已知数列满足：，且数列是等比数列，数列是等差数列，试写出数列的一个通项公式：__________．

【答案】（答案不唯一）.

【分析】因为数列是等差数列，取为非零常数列，所以令为非0常数且），即可求出是通项公式，再验证数列是等比数列即可.

【详解】解：因为数列是等差数列，取为非零常数列，

令为非0常数且），

则是以为首项，为公比的等比数列，

所以，此时是等比数列，符合题意，

事实上，取皆符合．

例如，则，此时，为等比，符合题意，

故答案为：（答案不唯一）.

四、解答题

17．已知数列满足，它的前项和为，且.

(1)求数列的前n项和的最小值.

(2)求数列的前项和为.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式列方程可以求出，进而可以求出结果；

（2）根据（1）求出通项公式，则当时，，当时，，进而分类可以求出结果.

【详解】（1）由可知是等差数列，

又因为，，

则有，

解得，，

所以的前n项和，，

由二次函数性质可知当时，取最小值为，

所以数列的前n项和的最小值为.

（2）由（1）知，

则当时，，当时，，

当时，，

当时，，，

综上，.

18．已知等差数列的前项和为，有，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，记数列的前项和为，证明：.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于和的方程组，解出这两个量，再利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；

（2）由（1）得知，然后利用裂项法求出数列的前项和，即可证明出.

【详解】（1）设数列的公差为，有，解得，有，因此，数列的通项公式为；

（2）由（1）知，

有，

由，有，故有，由上知.

【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，在求解等差数列的通项公式时，一般要建立首项和公差的方程组，利用方程思想求解，考查计算能力，属于中等题.

19．已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可；

（2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可.

【详解】（1）设数列的公比为，

因为，，成等差数列，

所以，

即，

解得或，

因为各项均为正数，

所以，

所以，

由，

得，

解得，

所以.

（2）由（1）知，，

则，

所以，

两式相减可得，

整理可得．

20．已知数列的前项和为，且满足：.

(1)求证：数列为常数列；

(2)设，求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据证明即可；

（2）先求出数列的通项，再利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）由，

当时，，

当时，，

两式相减得，

即，所以，

所以，

当时，，上式也成立，

所以数列为常数列；

（2）由（1）得，

所以，

则

，

则，

两式相减得

，

所以.

21．国际足联世界杯，简称“世界杯”，是由全世界国家级别球队参与的，并具有最大知名度和影响力的足球赛事，2022年世界杯于11月21日—12月18日在卡塔尔举行．某大学为了解本校学生对世界杯的关注程度，从学生中随机抽取了200名学生进行调查（其中男生120名），根据样本的调查结果得到如下图所示的等高规程条形图．

(1)请完成上面的列联表，并判断能否有的把握认为学生是否关注世界杯与性别有关．

(2)从这200名学生里对世界杯关注的学生中，按性别采用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8名学生中随机选取3名参与学校足协活动．记参与学校足协活动的男生人数为，求的分布列与期望．

附：，其中．

【答案】(1)表格见详解，有

(2)分布列见详解，期望为

【分析】（1）等高规程条形图即可完成列联表，再根据列联表数据可计算得到，再对比临界值表可得结论；

（2）根据题意得到的可能取值，然后求出对应的概率，进而得到求的分布列与期望．

【详解】（1）有120名男生，则有80名女生，结合条形图，男生中关注的有60人，不关注的有60人，

女生中关注的有20人，不关注的有60人，则列联表如下：

则，

又，则有的把握认为学生关注世界杯与性别有关．

（2）由（1）可知，关注的学生中，男女比例为，则抽出的8人中，男生有6人，女生有2人，

则的对应值有，

则，，，

则的分布列为

．

22．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x与烧开一壶水所用时间y的一组数据，且作了一定的数据处理（如下表），得到了散点图（如下图）.

表中，.

(1)根据散点图判断，与哪一个更适宜作烧水时间y关于开关旋钮旋转的弧度数x的回归方程类型?（不必说明理由）

(2)根据判断结果和表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)若单位时间内煤气输出量t与旋转的弧度数x成正比，那么x为多少时，烧开一壶水最省煤气？

附：对于一组数据，，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】(1)选更适宜；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据给定的散点图直接选择回归方程类型作答.

（2）由（1）中方程类型，令，求出关于的回归直线方程即可作答.

（3）由（2）的结论，列出煤气用量关于x的函数，借助均值不等式求解作答.

【详解】（1）由于随x的增大散点图中的点近似地在一条曲线上逐渐下降，所以选更适宜.

（2）由（1）令，于是得关于的回归直线方程，

由最小二乘法公式得：，

，则关于的回归直线方程为，

所以所求回归方程为.

（3）依题意，设，

则煤气用量，当且仅当，即时取“=”，

所以当时，煤气用量最小.