2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷（含解析）

2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年，某县完成生产总值亿元，同比增长，数据亿元用科学记数法可表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

3.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  如图，，点在上，平分，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列各项调查中，最适合用全面调查普查的是(    )

A. 了解国内外观众对电影流浪地球的观影感受
B. 了解太原市九年级学生每日睡眠时长
C. “长征火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D. 检测一批新出厂的手机的使用寿命

6.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  将抛物线向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到抛物线，则，的值为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  如图，在菱形中，在对角线上取一点，使得，连接，若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点、，作直线，交轴于点，是上一点，连接、，将绕点逆时针旋转，点落到点处，交轴于点若，点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片研究发现，近视眼镜的度数度与镜片焦距的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是(    )

A. 当的值增大时，的值随之减小
B. 当焦距为时，近视眼镜的度数为度
C. 当焦距为时，近视眼镜的度数约度
D. 某人近视度数度，镜片焦距应该调试为

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

12.  如图，内接于，是的直径，，则 ______

13.  如图，随机闭合开关，，中的两个，灯泡不能够发光的概率是______ ．

14.  如图，以为直径作半圆，为的中点，连接，以为直径作半圆，交于点若，则图中阴影部分的面积为        ．

15.  如图所示，在中，，，为斜边中线，点为线段上一动点，将线段绕点逆时针旋转得线段，连接，，当垂直于的一边时，线段的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
化简：．

17.  本小题分
为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了围棋社团、书法社团、唱社团、剪纸社团活动该校从全校名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪种社团活动每人必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息，解答下列问题：
你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是        ，条形统计图中的值为        ；
求扇形统计图中的度数；
根据调查结果，可估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？

18.  本小题分
春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场处放风筝，风筝位于处，风筝线长为，从处看风筝的仰角为，小张的父母从处看风筝的仰角为．
风筝离地面多少米？
小张和父母的直线距离是多少米？结果精确到，参考数据：，，，

19.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点．
求反比例函数的解析式及点坐标；
在第一象限内，当一次函数的值大于反比例函数的值时，写出自变量的取值范围．

20.  本小题分
独轮车图俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点．
求证：；
若，求的半径．
 

21.  本小题分
为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买个品牌足球和个品牌足球共需元；购买个品牌足球和个品牌足球共需元．
求，两种品牌足球的单价．
若该校计划从某商城网购，两种品牌的足球共个，其中购买品牌的足球不少于个且不多于个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？

22.  本小题分
如图，已知抛物线为常数，交轴于、两点，交轴于，将该抛物线位于直线为常数，下方的部分沿直线翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”．
求该抛物线的表达式；
若时，直线与图象有三个交点，求的值；
若直线与图象有四个交点，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现
某数学小组对图的矩形纸片进行如下折叠操作：
第一步：如图，把矩形纸片对折，使与重合，得到折痕，然后把纸片展开；
第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处，折痕与交于点，然后展开纸片，连接，，．
问题解决
请在图中利用尺规作图，作出折痕；保留作图痕迹
请你判断图中的形状，并说明理由；
如图，折痕与交于点，的延长线交直线于点，若，，请你直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值：，
故选：．
根据绝对值的性质：即可得出答案．
本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿元元元．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：这个几何体的主视图如下：

故选：．
根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
平分，
．
．
故选：．
根据平行线的性质，由，得根据角平分线的定义，得平分，那么，进而求得．
本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、了解国内外观众对电影流浪地球的观影感受，适合抽样调查；
B、了解太原市九年级学生每日睡眠时长，适合抽样调查；
C、“长征火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；
D、检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象向上平移个单位，再向左平移个单位，
平移后解析式为：，
则，．
故选：．
根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得出平移后解析式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于点，

设，则，
四边形是菱形，，
，，
，
在和中，由勾股定理得：，，
，
即，
整理得：，
解得：，不符合题意舍去，
，
，
故选：．
连接交于点，设，则，由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，，则，得出方程，解方程即可．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由作图方法可得，直线垂直平分，
则，
又，
是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
点关于轴对称的点的坐标是
故选：．
直接利用基本作图方法得出直线垂直平分，再利用等边三角形的判定与性质，结合旋转的性质、勾股定理得出答案．
此题主要考查了基本作图以及等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：近视眼镜的度数度与镜片焦距的关系式为，
当的值增大时，的值随之减小，故A正确，不符合题意；
将代入，值为，故B正确，不符合题意；
将代入，值约为，故C正确，不符合题意；
将代入，值为，故D错误，符合题意．
故选：．
根据反比例函数的性质可以判断；利用已知解析式代入相关数据可以判断，，．
本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据是的直径，则，从而有，从而求得，再根据圆周角定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意列表如下：

共有种等可能的情况数，其中灯泡不发光的有种，
即能让灯泡发光的概率是．
故答案为：．
采用列表法列出所有情况，再根据不能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法树形图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接．
，
，
是小圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．

连接根据，求解即可．
本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求面积．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，如图所示，

，
．
，
．
在中，，，
，，
，，
；
当时；如图所示，过点作于点．
，，
．
．
，．
．
在中，．
综上，线段的长为或，
故答案为：或．
根据和两种情况进行讨论，当时，根据得到，在中根据直角三角函数计算出和，从而计算出，当时，证明，得到，得到，再根据勾股定理计算出．
本题考查直角三角形的性质和直角三角函数，解题的关键是掌握直角三角函数的相关知识．
 

16.【答案】解：


；



． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

17.【答案】书法社团   

【解析】解：你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是或法社团；
样本容量为：，
故．
故答案为：书法社团；；
由题意得，；
名，
答：估计该校名学生中最喜欢“书法社团”的约有人．
根据众数的定义可得众数是书法社团；利用即可求出参加问卷调查的学生人数为；根据可得答案；
即可得出答案；
用该校总人数乘以样本中最喜欢“书法社团”的占比即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

18.【答案】解：作于点，

，，
，
，
即风筝离地面；
，，，，
，，
，
即是． 

【解析】作，然后根据，，即可计算出的长；
根据题意和中的结果，利用勾股定理和锐角三角函数可以计算出和的长，然后将它们相加，即可得到是多少米．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

19.【答案】解：点在一次函数的图象上，
当时，
即：点的坐标为：
点在反比例函数的图象上
，
反比例函数的解析式为：；
如下图所示：
解方程组：得或
点的坐标为
直线与轴的交点为

由图象可知：当 时一次函数的值大于反比例函数的值． 

【解析】将点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将的的坐标代入反比例函数的解析式即可．
一次函数的值大于反比例函数的值时，双曲线便在直线的下方，所以求出直线与双曲线及轴的交点后可由图象直接写出其对应的取值范围．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点与它们的解析式的关系．
 

20.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
在中，，
，
为直径，
，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
，
，
的半径为． 

【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明∽，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

21.【答案】解：设种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元，
由题意可得：，
解得，
答：种品牌的足球单价为元，种品牌的足球单价为元；
若购买品牌的足球个，则购买品牌的足球个，
由题意可得：，
整式随的增大而减小，
购买品牌的足球不少于个且不多于个，
，
当时，式子取得最小值，原式，
答：学校最少需要花费元． 

【解析】根据购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元；购买个品牌的足球和个品牌的足球共需元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
设购买种品牌的足球个，则两种品牌的足球个，然后根据购买品牌的足球不少于个且不多于个，可以得到的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到学校最少需要花多少钱．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

22.【答案】解：由题意得，解得，
该抛物线的表达式为；
时，由图象得直线与图象有三个交点时，存在两种情况：
当直线过点时，与图象有三个交点，此时；
当直线与图象位于线段上方部分对应的函数图象相切时，
，
，
，
，
综上，的值是或；
将该抛物线位于直线为常数，下方的部分沿直线翻折，得到，
令，则，
，
，
由，解得，
若直线与图象有四个交点，的取值范围是． 

【解析】利用待定系数法即可求得；
利用数形结合找出当经过点或者与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点，当直线经过点时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值；当与相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式，即可求出值．综上即可得出结论；
求得直线与的交点，以及当与相切时的值，即可求得的取值范围．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：利用待定系数法求出抛物线的解析式；利用数形结合找出直线与新图象恰好有三个不同的交点的情况；找出直线与新图象恰好有三个不同的交点以及直线与的交点是关键．
 

23.【答案】解：如图，为所求．

是等边三角形．
理由如下：由折叠的性质可得，，，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形；
如图，

是等边三角形，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
∽，
，
设，
，
解得，
． 

【解析】由题意画出图形即可；
由折叠的性质可得，，，可证出，则可得出结论；
由等边三角形的性质及直角三角形的性质求出和的长，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了尺规作图，翻折变换，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．