2023年四川省绵阳市涪城区中考数学模拟试卷（含解析）

2023年四川省绵阳市涪城区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的钢块零件的主视图为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过万亿元，直接带动经济总产出达万亿元．其中数据万亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  关于等边三角形，下列说法不正确的是(    )

A. 等边三角形是轴对称图形 B. 所有的等边三角形都相似
C. 等边三角形是正多边形 D. 等边三角形是中心对称图形

5.  已知一组数据：，，，，，的平均数和中位数都是均为正整数，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的(    )

A. 中位数不变 B. 众数不变 C. 平均数不变 D. 方差不变

6.  如图，是中心为原点，顶点，在轴上，半径为的正六边形，则顶点的坐标为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  正整数、分别满足、，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  小明、小颖和小凡都想去影院看电影，但现在只有一张门票，三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去，游戏规则是：连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜，若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上，一枚反面朝上，则小凡获胜，关于这个游戏，下列判断正确的是(    )

A. 三人获胜的概率相同 B. 小明获胜的概率大
C. 小颖获胜的概率大 D. 小凡获胜的概率大

9.  等底、等体积的圆柱和圆锥，圆锥的高是分米，圆柱的高是(    )

A. 分米 B. 分米 C. 分米 D. 分米

10.  如图，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图所示，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

11.  二次函数的图象不经过第二象限，则、、的取值范围是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

12.  如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为(    )
；；是等边三角形；．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  分解因式的结果是______．

14.  方程的解是______ ．

15.  如图，中，是边上的点，先将沿着翻折，使点落在点处，且，交于点如图，又将沿着翻折，使点落在点处，若点恰好落在上如图，且，则 ______
 

16.  如图，地面上两个村庄、处于同一水平线上，一飞行器在空中以千米小时的速度沿方向水平飞行，航线与、在同一铅直平面内当该飞行器飞至村庄的正上方处时，测得，该飞行器从处飞行分钟至处时，测得，则村庄、间的距离为______ 千米，结果保留一位小数

17.  不等式组的解集为______ ．

18.  如图，点是半径为的上一点，点是上一动点不与点重合，以为直角顶点画等腰直角，，在直线的两侧，则线段长的最小值为______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

19.  陈老师的家乡出产青李，因雪峰山特殊的地形形成特殊的气候，所以青李的品质很高家乡人成立了雪峰商会，其中有一专项就是青李的销售去年青李成熟之际，商会收集了大量的青李，用，两种型号的货车，分两批装箱运往市销售，具体运输情况如下表：

求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨青李？
已知型车满载运往市一趟的运费为元，型车满载运往市一趟的运费需要元，商会后续又筹集了吨青李，现需要辆货车运送青李为控制运费不超过元，试问有哪几种方案可以一次性将这批青李运往目的地？

四、解答题（本大题共6小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
青少年“心理健康”问题越来越引起社会的广泛关注，某区为了解学生的心理健康状况，对中学初二学生进行了一次“心理健康”知识测试，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，绘制了频率分布表和频率分布直方图的一部分．
学生心理健康测试成绩频率统计表

请解答下列问题：
学生心理健康测试成绩频率统计表中的 ______ ；
请补全学生心理健康测试成绩频数统计图；
若成绩在分以下不含分心理健康状况为不良，分分含分为一般，分分含分为良好，分含分以上为优秀，请补全学生心理健康状况扇形统计图．
 

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，直线与轴、轴交于，两点，且．
求，，的值；
求的面积．

23.  本小题分
如图，点，分别为矩形边，上的点，以为直径作交于点，且与相切，连结．
若，求证：≌．
若，．
求的长．
连结，若是以为腰的等腰三角形，求所有满足条件的的长．
连结，若的延长线经过点，且，求的值．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点的坐标为．
求抛物线的解析式；
已知直线：与抛物线交于、两点点在的左侧，点为线段上的一个动点，过作轴的平行线交抛物线于点，求的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，如图，若点是的中点，将绕点旋转，旋转过程中，点的对应点为、点的对应点为，将抛物线沿直线的方向平移两侧均可，在平移过程中点的对应点为，在运动过程中是否存在点和点关于的某一边所在直线对称与不重合，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
 

25.  本小题分
定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图，已知，▱，，点是边上一点，连结，四边形恰为等腰梯形．求的度数；
【性质再探】如图，已知四边形是矩形，以为一边作等腰梯形，，连结、求证：；
【拓展应用】如图，▱的对角线、交于点，，，过点作的垂线交的延长线于点，连结若，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
故选：．
根据绝对值的定义得到即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：万亿．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，所以本选项错误；
B、因为所有的等边三角形的角都是，所以本选项错误；
C、因为等边三角形的角相等，边相等，所以本选项错误；
D、根据中心对称图形的定义，等边三角形不是中心对称图形，所以本选项正确；
故选：．
根据轴对称图形的定义，沿边上的垂直平分线折叠能够重合，即可判断；根据所有的等边三角形的角都是，即可判断；根据等边三角形的角相等，边相等，即可判断；根据中心对称图形的定义即可判断．
本题主要考查对等边三角形的性质，多边形，相似三角形的判定，轴对称图形，中心对称图形等知识点的理解和正确，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据数据，，，，，的平均数为，得，解得；
由中位数是，所以或，；
去掉一个最大数后，该组数据的平均数和方差都变小，中位数可能是，也可能是，
当时，众数与原来相同，都是；
当，时，众数与原来也相同，都是．
故选：．
根据该组数据的平均数得出的值，再根据中位数得出、的值，讨论去掉一个最大数后，该组数据的平均数、标准差和中位数、众数的变化情况．
本题考查了数据的分析与应用问题，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数，方差的定义以及求解方法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，坐标与图形性质，得出，是解题的关键．
连接，由于正六边形的中心角是，则是等边三角形，，设交轴于，那么，然后在中，利用勾股定理求出与的值，进而得到点的坐标．
【解答】
解：连接．

，，
是等边三角形，
．
设交轴于，则．
在中，
，，
，．

故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，，
，．
．
故选：．
根据、的取值范围，先确定、，再计算．
本题考查了无理数的估值，掌握立方根、平方根的意义，并能根据、的取值范围确定、的值是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：

所有的可能为；正，正，正，反，反，正，反，反，
故小明获胜的概率为：，小颖获胜的概率为：，小凡获胜的概率为：，
故此游戏小凡获胜概率大，
故选：．
利用树状图法得出所有的可能，进而分别求出获胜的概率即可．
本题主要考查列表法和树状图，正确利用树状图法求概率是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆柱的体积公式，圆锥的体积公式，
等底等体积的圆柱和圆锥，圆柱的高是圆锥高的，
分米，
故选：．
根据圆柱的体积公式与圆锥的体积公式得出等底等体积的圆锥与圆柱，圆柱的高是圆锥的高的，由此可得出答案．
考查了圆柱与圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥与圆柱的计算公式，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，
为等边三角形，
设，由图可知，的面积为，
的面积，
解得：，
故选：．
根据图和图判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象不经过第二象限，
则大致图象为右图所示，
由图象即可判断出，，，
故选：．
根据二次函数的图象不经过第二象限可画出大致图象，图象开口决定的符号，与轴交点决定的符号，对称轴所在位置决定的符号．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数不过第二象限画出大致图象是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，点是中点，
，
，
，，
是等边三角形，故正确；
设，则，
由勾股定理得，，
为中点，
，
，
在中，由勾股定理得，，
四边形是矩形，
，
，故正确；
，，
，故错误；
，，
，故正确；
综上所述，结论正确的是，
故选：．
由直角三角形斜边上的中线性质得，再求出求出，得是等边三角形，则正确；设，由等边三角形的性质表示出，再由勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后由勾股定理求出，得正确，错误；最后由三角形的面积和矩形的面积得正确即可．
本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
先提取公因式，再利用平方差公式．
本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
由折叠可得：，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
先由平行线性质得：，再由折叠可得：，，，则，由三角形内角和定理知，而，可求得，然后由，则，即可求出度数．
本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，求出和是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，

，，
，
千米，
千米千米，
千米，
千米，
，，
千米．
故答案为：．
过作于，三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质得到米．米，求得米，即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出米是解答此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图延长交于点，连接，
，
是的直径，
过点，
当时，有最小值，
，
是等腰直角，
，
，
设，则，
半径为，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
解得，
即，
点是中点，点是中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
延长交于点，连接，根据，得是的直径，当时，有最小值，根据垂径定理得，是中点得是的中位线，所以先求的长，根据是等腰直角，再根据勾股定理求出长，从而得出长．
本题考查了等腰直角三角形、勾股定理、三角形中位线性质，熟练掌握这三个定理的综合应用，辅助线的做法是解题关键．
 

19.【答案】解：设种型号货车每辆满载能运吨青李，种型号货车每辆满载能运吨青李，
依题意，得：，
解得：．
答：种型号货车每辆满载能运吨青李，种型号货车每辆满载能运吨青李．
设需辆种型号货车，辆种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地，
依题意，得：，
解得：，
又为正整数，
或，
运输方案有两种：辆种型号货车，辆种型号货车；
辆种型号货车，辆种型号货车． 

【解析】设种型号货车每辆满载能运吨青李，种型号货车每辆满载能运吨青李，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设需辆种型号货车，辆种型号货车可以一次性将这批青李运往目的地，由题意列出一元一次不等式组可得出答案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
 

20.【答案】解：原式


，
，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由零指数幂、负整数指数幂及算术平方根得出的值，继而代入计算可得．
本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算顺序和运算法则及零指数幂、负整数指数幂及算术平方根是关键．
 

21.【答案】
补全的学生心理健康测试成绩频数统计图如下图所示，

由题意可得，
良好率：，
优秀率：，
故补全的学生心理健康状况扇形统计图，如上图所示， 

【解析】

解：由表格可得，抽取的学生数为：，
，
故答案为：；
见答案
见答案
【分析】
根据表格中的数据可以算出抽取的学生总数，从而可以得到的值；
根据表格中数据和计算出的的值，可以将条形统计图补充完整；
根据题意可以得到良好率和优秀率，从而可以将扇形统计图补充完整．
本题考查扇形统计图、频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．  

22.【答案】解：过点作轴于点，如图

，，





，
把，分别代入得：

解得

，，的值分别为，，．

当时，，即




的面积为． 

【解析】过点作轴于点，解直角三角形得点坐标，再用待定系数法求得双曲线的解析式，再代入点坐标求得，进而用待定系数法求得、；
求得点坐标，再由的面积等于的面积加上的面积即可求得结果．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点、待定系数法求函数的解析式、锐角三角函数及函数与坐标轴围成的三角形的面积问题，熟练掌握相关性质并数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】证明：为直径，
．
在和中，
，
和；
解：与相切，
，
，
．
四边形为矩形，
，
，
，
，
∽，
．
在中，
，
，
；
若是以为腰的等腰三角形，
Ⅰ当时，
，
，
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
．
设，则，
，
，
，
解得：，
；
Ⅱ当时，
，
．
．
．
，，
，
，
∽，
．
由知：，
，
，
．
综上，若是以为腰的等腰三角形，满足条件的的长为或；
解：为圆的直径，
．
在和中，
，
≌，
，．
，，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
．
，
．
为的中位线，
，
．
设，则，
．
取的中点，连接，如图，
则为梯形的中位线，

，
．
，
，
∽，
． 

【解析】利用圆周角定理和全等三角形的判定定理解答即可；
利用切线的性质定理，矩形的性质和相似三角形的判定与性质，通过证明∽得到，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论；
利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：Ⅰ当时，利用全等三角形的判定与性质得到，设，则，则，利用勾股定理列出方程解答即可；Ⅱ当时，利用相似三角形的判定得到∽，进而得到，再利用的结论，利用勾股定理解答即可得出结论；
利用全等三角形的判定定理证明得到≌和≌，得到，利用三角形的中位线得到，设，则，则，取的中点，连接，利用梯形的中位线定理得到，最后利用相似三角形的判定定理得到∽，由相似三角形的性质即可得出结论．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质三角形的中位线定理，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
 

24.【答案】解：设抛物线解析式为，
把，代入，得：
，
，
；
设，
，
，
，
设，
，

，
，

，
当时，最大，
此时；

，，，
直线：，直线：，直线：，
直线：，
图，若与关于对称，
，
在等腰中，，
，
设，
，
，
由得，
，
或，
或；

当与关于对称时，如图，
直线：，
，
，
，或舍去
；


当与关于对称时，如图，
设，
，
，
，
直线的函数关系式是：，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，舍去，
；
综上所述、、、 

【解析】设抛物线顶点式，代入点的坐标；
设，求出关于的函数关系式是二次函数，求二次函数最值；
分为与关于，，对称三种情形，设，根据到原点距离是及对称列出方程组，从而解得．
本题考查了以二次函数为背景下求二次函数的最值，结合图形的旋转、翻折对称、平移求满足一定条件下的点的坐标，解决问题的关键是设点的坐标，根据条件列出方程组．
 

25.【答案】【性质初探】解：过点作交于，过点作交于，
▱，
，
，
四边形恰为等腰梯形，
，
≌，
，
，
；
【性质再探】证明：四边形是矩形，
，
四边形是等腰梯形，
，
由可知，，
≌，
；
【拓展应用】解：连接，过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
． 

【解析】【性质初探】过点作交于，过点作交于，证明≌，即可求解；
【性质再探】证明≌，即可求解；
【拓展应用】连接，过点作交延长线于点，分别证明是等腰三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而可求，，在中，用勾股定理求出的长即为所求的长．
本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．