2022-2023学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（下）期中数学试卷-（含解析）

2022-2023学年湖南省邵阳市绥宁县九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据市统计局年报，去年我市人均生产总值为元，用科学记数法表示为(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元

3.  下列几何体中，其左视图和俯视图相同的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列属于随机事件的是(    )

A. 买一张彩票，一定不会中奖 B. 在只装有红球的袋中摸出个球，是红球
C. 明天早晨的太阳从东方升起 D. 打开电视，正在播放中国诗词大会

5.  下列图形中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列长度的三条线段能组成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

7.  如图，、是曲线上的点，经过、两点向轴、轴作垂线段，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

8.  已知一次函数，则该函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图所示，的直径为，弦的长度是，，垂足为，则的长度为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  不等式组的非负整数解为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  函数的自变量的取值范围是______．

13.  为了解某校初三年级名学生的身高状况，从中抽查了名学生，所获得的样本容量是______ ．

14.  方程的解是______ ．

15.  如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为______ ．

16.  如果单项式与是同类项，那么 ______ ．

17.  如图，，，，则 ______ 度．

18.  如图，已知在和中，，点、、在同一条直线上，若使≌，则还需添加的一个条件是          只填一个即可

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

19.  如图，已知的半径为，是的直径，过点作的切线，是的中点，交于点，四边形是平行四边形．
求的长；
是的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．

四、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：．

21.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

22.  本小题分
已知：如图，▱中，，、分别是和的中点，求证：四边形是矩形．

23.  本小题分
某校为了解学生安全意识强弱，在全校范围内随机抽取了部分学生进行问卷调查将调查结果汇总分析，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
这次调查一共抽取了______ 名学生，并将条形统计图补充完整；
求扇形统计图中，“淡薄”层次所占扇形的圆心角度数；
若该校有名学生，现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要接受强化安全教育的学生人数．

24.  本小题分
某学校为迎接“校园读书节”，计划购进甲、乙两种图书作为奖品已知甲种图书的单价比乙种图书的单价多元；且购买本甲种图书和本乙种图书共需花费元
甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
学校计划购买这两种图书共本，且投入总经费不超过元，则最多可以购买甲种图书多少本？

25.  本小题分
某校数学兴趣小组的同学为了利用所学知识，测量校园内一棵树的高度如图所示，当这棵树顶点的影子刚好落在旗台的台阶下点处时，他们测得此时树顶点的仰角为；当点的影子刚好落在台阶上点时，树顶点的仰角为，台阶坡度为：，台阶高度米，点、、在同一水平线上，求树高测角仪高度忽略不计．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，点、在轴上，并且，动点在过、、三点的抛物线上．
求抛物线的函数表达式；
在直线上方的抛物线上，是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据绝对值的性质一个负数的绝对值等于这个数的相反数，依此得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质，熟练应用绝对值的性质是解决问题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：元．
故选C．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值是易错点，由于有位，所以可以确定．
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定与值是关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、圆柱的左视图和俯视图分别为长方形，圆，故A选项不符合题意；
B、球的左视图和俯视图都是圆，故B选项符合题意；
C、圆锥的左视图和俯视图分别为等腰三角形，圆及圆心，故C选项不符合题意；
D、圆台的左视图和俯视图分别为梯形，圆环，故D选项不符合题意．
故选：．
找到从物体左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：、买一张彩票，一定不会中奖，不是随机事件，不符合题意；
B、在只装有红球的袋中摸出个球，是红球，这是必然事件，不符合题意；
C、明天早晨的太阳从东方升起，这是必然事件，不符合题意；
D、打开电视，正在播放中国诗词大会，这是随机事件，符合题意；
故选：．
根据随机事件的定义逐一判断即可：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项正确，符合题意；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形性质即可判断出．
此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、，，
，，的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
C、，
，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
D、，
，，的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、是曲线上的点，经过、两点向轴、轴作垂线段，
，
又，
，
．
故选：．
首先根据反比例函数中的几何意义，可知，又，则，从而求出的值．
本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，这是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．
 

8.【答案】 

【解析】解：一次函数，，，
函数经过第一，二，三象限．
故选：．
根据一次函数的性质，，函数值随的增大而增大，即可得到结论．
本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，，，
，
，
故选：．
根据的半径为，弦的长度是，，可以求得的长，从而可以求得的长．
本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集为：．
不等式组的非负整数解有：，，，，．
不等式组的非负整数解有个．
故选：．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，最后即可求出非负整数解的个数．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为．
先提取公因式，再利用平方差公式进行分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，注意分解因式要彻底．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数，分母不能为零得出不等式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：样本是：名学生身体状况，因而所获得的样本容量是．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

14.【答案】 

【解析】解：方程整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

15.【答案】 

【解析】解：垂直且平分线段，
，
四边形是矩形，对角线与相交于点，，
，
，
故答案为：．
根据相等垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则．
本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知矩形的对角线相等且互相平分，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：单项式与是同类项，
，
，
故答案为：．
根据同类项的定义求出、的值，然后代值计算即可．
本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握同类项的定义：如果两个单项式所含的字母相同，相同字母的指数也相同，那么这两个单项式就叫做同类项．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
．
故答案为：．
由，，根据平行线的性质，可求得的度数，又由三角形外角的性质，即可求得的度数．
此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题比较简单，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
 

18.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】
利用全等三角形的判定方法添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
【解答】
解：，，
当添加时，可根据“”判断≌；
当添加时，可根据“”判断≌；
当添加时，可根据“”判断≌．
当添加时，可根据“”判断≌．

故答案为答案不唯一．  

19.【答案】解：连接，是直径，，
四边形为平行四边形，
，，
在中，为的中点，
，
则；

是，理由如下：
如图，连接，，
四边形为平行四边形，
为圆的切线，
，
四边形为矩形，
，
则为圆的切线． 

【解析】连接，由为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到为直角，由为平行四边形，得到与平行，且，在直角三角形中，为的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出的长即可；
连接，由与平行，，得到四边形为平行四边形，由为圆的切线，利用切线的性质得到垂直于，可得出四边形为矩形，利用矩形的性质得到垂直于，即可得出为圆的切线．
此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
 

20.【答案】解：原式

． 

【解析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再根据实数的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，正确计算是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式


；
把代入上式，
原式． 

【解析】根据分式的加减运算法则进行化简，在把代入计算即可得出答案．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值的方法进行求解是解决本题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是和的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
又，，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，，证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是矩形．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出是解决问题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：这次共抽取了名，
由统计图可知，具有“较强”意识的学生有人．
补全条形统计图如图所示：


扇形统计图中，“淡薄”层次所占扇形圆心角的大小为；

根据题意得：
人，
答：全校需要接受强化安全教育的学生约有人．
根据很强的人数和所占的百分比求出抽查的总人数，再求出较强的人数，从而补全统计图；
用乘以“淡薄”层所占的百分比即可；
用总人数乘以强化安全教育的学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】解：设甲、乙两种图书的单价分别为元、元，
，
解得，
甲、乙两种图书的单价分别为元、元；
设可以购买甲种图书本，
，
解得，
最多可以购买甲种图书本． 

【解析】设甲、乙两种图书的单价分别为元、元，根据甲种图书的单价比乙种图书的单价多元；且购买本甲种图书和本乙种图书共需花费元列方程组求解即可；
设可以购买甲种图书本，根据投入总经费不超过元列不等式求解即可．
此题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程和不等式，再求解．
 

25.【答案】解：作于，设树高为米，在中，，
则，
在中，，
则，
，，
，
，
，
，
树高米． 

【解析】作于，设树高为米，在中，根据，在中，，分别求出和，再根据，求出，最后根据，代入计算即可得出答案．
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是仰角、特殊角的三角函数值，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
 

26.【答案】解：，
，
，
，，
，，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，
即；
作轴，如图，
易得直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时点坐标为；
存在．
，
，
当时，点在原点，即；
当时，点与点关于轴对称，则；
当时，点的坐标或，
综上所述，点的坐标为或或或． 

【解析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
先确定，，再设交点式，然后把点坐标代入求出即可；
作轴，如图，易得直线的解析式为，设，则，再用表示出，接着根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
先计算出，再分类讨论：当时，易得；当时，利用点与点关于轴对称得到点坐标；当时可直接写出点的坐标．