数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品课后练习题

2023年人教版数学九年级上册

《21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系》同步精炼

一              、选择题

1.下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(　　)

A.x2＋6x＋9＝0     B.x2＝x        C.x2＋3＝2x        D.(x－1)2＋1＝0

2.若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为(　　)

A.－1         B.1       C.－2或2       D.－3或1

3.关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)

A.k＜5         B.k＜5，且k≠1    C.k≤5，且k≠1       D.k＞5

4.下列对一元二次方程x2＋x－3＝0根的情况的判断，正确的是(　　)

A.有两个不相等实数根[     B.有两个相等实数根

C.有且只有一个实数根      D.没有实数根

5.若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个解为x＝－1，则另一个解为(　　)

A.1          B.－3          C.3          D.4

6.已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为(     )

A.4         B.－4         C.3         D.－3

7.已知x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两个实数根，则x＋x的值是(　　)

A.－           B.1          C.           D.9

8.已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1，x2，下列结论正确的是(　　)

A.x1＋x2＝－               B.x1·x2＝1

C.x1，x2都是有理数          D.x1，x2都是正数

9.已知关于x的一元二次方程(a＋1)x2＋2bx＋(a＋1)＝0有两个相等的实数根，下列判断正确的是(　　)

A.1一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根

B.0一定不是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根

C.1和﹣1都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根

D.1和﹣1不都是关于x的方程x2＋bx＋a＝0的根

10.若0＜m＜2，则关于x的一元二次方程﹣(x＋m)(x＋3m)＝3mx＋37根的情况是(　　)

A.无实数根             

B.有两个正根

C.有两个根，且都大于﹣3m             

D.有两个根，其中一根大于﹣m

二              、填空题

11.若关于x的一元二次方程x2＋2x﹣k＝0没有实数根，则k的取值范围是　  .

12.已知关于x的方程(k﹣1)x2﹣2kx＋k﹣3＝0有两个相等的实根，则k的值是________.

13.若x1，x2是方程x2＋x﹣1＝0的两个根，则x12＋x22＝　   　.

14.设x1，x2是方程5x2﹣3x﹣1=0的两个实数根，则的值为      .

15.若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，那么实数a的取值范围是________.

16.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018=0的两个实数根，则m2＋3m＋n=______.

三              、解答题

17.关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.

(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.

18.已知关于x的方程x2＋ax＋a﹣2=0.

(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根；

(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

19.已知关于x的一元二次方程2x2﹣mx﹣2m＋1＝0的两根的平方和是，求m的值.

20.关于x的一元二次方程x2＋3x＋m﹣1＝0的两个实数根分别为x1，x2．

(1)求m的取值范围；

(2)若2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求m的值．

21.已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边,且关于x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+(a﹣b)=0有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状.

22.已知关于x的一元二次方程mx2﹣(m﹣1)x﹣1＝0.

(1)求证：这个一元二次方程总有两个实数根；

(2)若二次函数y＝mx2﹣(m﹣1)x﹣1有最大值0，则m的值为　   　；

(3)若x1、x2是原方程的两根，且＝2x1x2＋1，求m的值.

答案

1.B.

2.A.

3.B.

4.A.

5.C.

6.A

7.C.

8.D.

9.D

10.A.

11.答案为：k＜﹣1.

12.答案为：.

13.答案为：3.

14.答案为：﹣3.

15.答案为：a≥－1.

16.答案为：2016

17.解：(1)当b＝a＋2时，∵Δ＝(a＋2)2﹣4a＝a2＋4＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根.

(2)∵方程有两个相等的实数根，

∴b2﹣4a＝0，

取a＝1，b＝2，则原方程变为x2＋2x＋1＝0，

解得x1＝x2＝﹣1.

18.解：(1)∵1为原方程的一个根，

∴1＋a＋a﹣2=0.

∴a=.

将a=代入方程，得x2＋x﹣=0.

解得x1=1，x2=﹣.

∴a的值为，方程的另一个根为﹣.

(2)证明：∵在x2＋ax＋a﹣2=0中，

Δ=a2﹣4a＋8=(a﹣2)2＋4>0，

∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

19.解：设方程两根为x1，x2，由已知得

∵x12＋x22＝(x1＋x2)2﹣2x1x2＝，即(m)2﹣2×＝，

∴m2＋8m﹣33＝0.解得m1＝﹣11，m2＝3.

当m＝﹣11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，Δ＝112﹣4×2×23<0，方程无实数根，

∴m＝﹣11不合题意，舍去；

当m＝3时，方程为2x2﹣3x﹣5＝0，Δ＝(﹣3)2﹣4×2×(﹣5)>0，

方程有两个不相等的实数根，符合题意.   

∴m的值为3.

20.解：(1)∵方程有两个实数根，

∴△≥0，

∴9﹣4×1×(m﹣1)≥0，

解得m≤；

(2)∵x1＋x2＝﹣3，x1x2＝m﹣1，

又∵2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，

∴2×(﹣3)＋m﹣1＋10＝0，

∴m＝﹣3．

21.解：∵x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+(a﹣b)=0有两个相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=0，且c﹣b≠0，即c≠b.

∴4(b﹣a)2﹣4(c﹣b)(a﹣b)=0，

则4(b﹣a)(b﹣a+c﹣b)=0，

∴(b﹣a)(c﹣a)=0，

∴b﹣a=0或c﹣a=0，

∴b=a，或c=a.

∴此三角形为等腰三角形.

22.(1)证明：m≠0，

△＝(m﹣1)2﹣4m×(﹣1)＝(m＋1)2，

∵(m＋1)2≥0，即△≥0，

∴这个一元二次方程总有两个实数根；

(2)解：∵二次函数y＝mx2﹣(m﹣1)x﹣1有最大值0，

∴m＜0且＝0，∴m＝﹣1；故答案为﹣1.

(3)解：x1＋x2＝，x1x2＝﹣，

∵＋＝2x1x2＋1，∴＝2x1x2＋1，

∴＝2•(﹣)＋1，整理得m2＋m﹣1＝0，

∴m＝或m＝.