2022-2023学年上海市川沙中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市川沙中学高二下学期期中数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市川沙中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．函数在到之间的平均变化率为________．【答案】/【分析】利用平均变化率的定义可求得结果.【详解】由题意可知，函数在到之间的平均变化率为.故答案：.2．已知函数的图像在点处的切线方程是，则______．【答案】/【分析】根据导数几何意义直接判断即可.【详解】函数的图像在点处的切线方程是则.故答案为：.3．若，则______．【答案】【分析】根据导数的定义求解即可.【详解】由导数的定义可知：.故答案为：.4．已知函数f(x)的导函数为，且满足关系式f(x)＝x2＋3x＋ln x，则＝________.【答案】【分析】先对f(x)＝x2＋3x＋ln x求导，然后令，化简可得【详解】因为f(x)＝x2＋3x＋ln x，所以＝2x＋3＋，所以＝4＋3＋＝3＋，所以＝.故答案为：【点睛】此题考查求导法则的应用，属于基础题5．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是______．（用数值表示）【答案】【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解．【详解】记感染新冠病毒为事件，感染新冠病毒的条件下，标本为阳性为事件，则，，故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为．故答案为：．6．已知函数，则该函数图像在点处的切线的倾斜角的大小是______．【答案】【分析】先求导，再由导数的几何意义可得，再结合倾斜角的范围求解即可.【详解】因为，所以，则，设直线的倾斜角为，则，又，所以，故答案为：.7．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.【答案】10.8【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.【详解】数据从小到大排序为： 8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故答案为：10.88．函数在区间内最小值是______．【答案】【分析】由导数判定函数在区间中的单调性，再求最值即可.【详解】，，令，，则在上单调递增，在上单调递减，且，故函数在区间内最小值是.故答案为：9．设函数（m为实数），若在上单调递减，则实数m的取值范围_____________．【答案】【分析】首先根据题意得到，，再根据的单调性即可得到答案.【详解】，因为函数在区间上单调递减，所以，恒成立，即，.又在上单调递减，所以，故，即，所以m的取值范围为.故答案为：.10．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】利用导数研究单调性，根据函数有极值求出实数a的取值范围.【详解】函数定义域为R，.令，则.当时，有，，即恒成立，所以在R上单增，无极值；当时，有，有两个根（不妨设），令解得：；令解得：，所以在上单增，在上单减，所以在处取得极大值，在处取得极小值.故实数a的取值范围是.故答案为：11．已知，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由参变分离可得对任意的都有成立，令，，只需，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案．【详解】因为对任意，都有成立，所以对任意，都有即成立，令，，，令，，，所以在上单调递增，所以，所以在上，单调递增，所以，所以，所以的取值范围为.故答案为：．12．已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．【答案】【分析】不等式转化为，令，利用导数说明函数的单调性，结合单调性解函数不等式.【详解】不等式转化为，令，则，在上单调递减，，，的解集为，即不等式的解集为.故答案为： 二、单选题13．研究下列问题：①某城市元旦前后的气温；②某种新型电器元件使用寿命的测定；③电视台想知道某一个节目的收视率；④银行在收进储户现金时想知道有没有假钞.一般通过试验获取数据的是（    ）A．①② B．③④ C．② D．④【答案】C【分析】根据普查和抽样调查的特点逐个分析判断【详解】①通过观察获取数据，③④通过调查获取数据，只有②通过试验获取数据.故选：C14．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ）A．曲线在点处的切线斜率小于零B．函数在区间上单调递增C．函数在处取得极大值D．函数在区间内至多有两个零点【答案】D【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解.【详解】根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，A错误；在，故在区间上单调递减，故B错误，在的左右两侧，故不是极值点，故C错误，在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，D正确；故选：D15．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析得出在点处的切线与直线平行，利用导数可求得结果.【详解】如下图所示：若使得取值最小值，则曲线在点处的切线与直线平行，对函数求导得，令，可得，，解得.故选：C.16．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢3局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前3局每局甲赢的概率为，之后每局甲赢的概率为，每局比赛没有平局，则打完第5局比赛结束的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得前3局甲赢2局，剩下2局乙赢，或前3局甲赢1局，第4局甲赢，剩下2局乙赢，再根据概率的乘法公式求解即可【详解】打完第5局比赛结束，则前4局甲、乙两位同学各赢2局.分两种情况：①前3局甲赢2局，剩下2局乙赢，概率为；②前3局甲赢1局，第4局甲赢，剩下2局乙赢，概率为.故打完第5局比赛结束的概率为.故选：B 三、解答题17．如图，圆锥的底面半径，高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点．求：(1)该圆锥的表面积；(2)直线CD与平面PAB所成角的大小．【答案】(1)表面积(2) 【分析】（1）求出圆锥的母线长，由此能求出该圆锥的表面积．（2）由题意，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的大小．【详解】（1）圆锥的底面半径，高，圆锥的母线长，该圆锥的表面积为：．（2）由题意，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，,0,，,,，,0,，,,，,,，平面的法向量为,0,，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的大小为．18．某中学将举行趣味运动会．某班共有8名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学4名，女同学4名．按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这8名报名的同学中随机选出4名．(1)求选出的4名同学中有男生的概率；(2)记选出的4名同学中女同学的人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型求解即可；（2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应随机变量的概率，即可得出分布列，再根据期望公式求出期望即可.【详解】（1）选出的4名同学中有男生的概率为；（2）随机变量可取，，，，，，则分布列为期望.19．某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设块球场时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用1280000元．(1)请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；(2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？【答案】(1)，其定义域为(2)个 【分析】（1）根据题意得到，得出每平方米的平均环保费用为元，进而得到每平方米的综合费用的表达式为和定义域；（2）由（1）知，求得，得出函数的单调性与极小值（最小值），即可求解.【详解】（1）解：由某网球中心在10000平方米土地上，欲建数块连成片的网球场，每块球场的建设面积为1000平方米，可得，因为每平方米的平均环保费用为元，每平方米的平均建设费用可近似地用函数关系式来刻画，所以每平方米的综合费用的表达式为，其中函数的定义域为.（2）解：由（1）可知，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得极小值，即为最小值，所以为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建个球场.20．已知A、B分别为椭圆的上、下顶点，F是椭圆Γ的右焦点，M是椭圆Γ上异于A、B的点．(1)若，求椭圆Γ的标准方程；(2)设直线l：y＝2与y轴交于点P，与直线MA交于点Q，与直线MB交于点R，求证：的值仅与a有关；(3)如图，在四边形MADB中，MA⊥AD，MB⊥BD，若四边形MADB面积S的最大值为求a的值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)a＝2 【分析】（1）由题意知是等边三角形，由此求出a，即可写出椭圆的标准方程．（2）设，，，写出直线AM、BM的方程，求出P、Q点的横坐标，即可求出的值．（3）设，，根据题意求出四边形MADB的面积，计算S的最大值，由此求出a的值．【详解】（1）因为，AF＝BF，所以是等边三角形，因为AB＝2，AF＝a，所以a＝2AO＝2，所以椭圆的标准方程为．（2）证明：设，因为，,所以直线AM、BM的方程分别为令，则有，，所以，而点在椭圆上，则有，即，所以的值仅与a有关．（3）设，而,故，,,因为MA⊥DA，MB⊥DB，所以，所以，，两式相减得，代回原式得，因为，所以，，所以四边形MADB的面积为，，所以,因为S的最大值为，所以，解得或，因为，所以．【点睛】本题采取的方法主要是大胆的设点，对于第二问的定值，要首先相关直线方程，再得到相关点的坐标，最后一定不忘有点在椭圆上，适合椭圆方程，进行整体代换，对于第三问除了设点，两个垂直的转化，主要从向量点乘为0或斜率乘积为两种出发，得到相关等式，点差法是处理设点时常用的方法，而四边形面积我们常常将其拆分，例如本题将其分割成两个三角形面积和.总体来说，本题是一道难题，考查了运算求解能力与逻辑思维能力.21．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数在其定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围；(3)若，且，证明：.【答案】(1)当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)(3)证明见解析 【分析】（1）先求定义域，然后对进行分类讨论，求解不同情况下的单调区间；（2）在第一问的基础上，讨论实数的取值，保证函数有两个不同的零点，根据函数单调性及极值列出不等式，求出时满足题意，再证明充分性即可；（3）设，对题干条件变形，构造函数对不等式进行证明.【详解】（1）函数定义域为，，①当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为②当时，，解得，当时，，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递减区间为，综上可知：①当时，函数的单调递减区间为②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）知，当时，函数在上单调递减，函数至多有一个零点，不符合题意，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，，又函数有两个零点，又，使得，又，设函数在上单调递减，，，使得，综上可知，为所求.（3）依题意，是函数的两个零点，设，因为，，，不等式，，所证不等式即设，在上是增函数，且，所以在上是增函数，且，即，从而所证不等式成立.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.