2022-2023学年上海市回民中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市回民中学高二下学期期中数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市回民中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．以点为圆心，且经过原点的圆的方程为________.【答案】【分析】设圆的方程为，再把原点坐标代入求出可得答案.【详解】由题设圆的标准方程为，因为原点在圆上，所以，所以圆的标准方程为.故答案为：.2．抛物线的焦点坐标为________.【答案】【分析】先确定焦点位置，然后求出即可得结果.【详解】解：由抛物线方程知，抛物线的焦点在上，由，得，所以焦点坐标为.故答案为：.【点睛】本题考查已知抛物线，求焦点坐标，是基础题.3．直线与直线间的距离为__________【答案】/【分析】利用两条直线平行的条件及两条平行直线间的距离公式即可求解.【详解】由直线，得，所以，由直线，得，所以，所以.所以直线与直线平行，所以直线与直线间的距离为.故答案为：.4．设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则___________【答案】16【分析】根据双曲线的焦点坐标，判断出双曲线焦点所在的坐标轴，再根据列方程，求得的值.【详解】双曲线的焦点坐标为，故焦点在轴上，由得.【点睛】本小题主要考查根据双曲线的焦点坐标求双曲线的方程，属于基础题.5．设直线与圆相交所得弦长为，则_____【答案】0【分析】由圆的弦长公式可解.【详解】依题意，圆心到直线的距离，由圆的弦长公式：，可得，解得.故答案为：06．与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为________【答案】【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的方程.【详解】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，故所求双曲线的方程为，即.故答案为：.7．曲线在点处的切线方程是______.【答案】x-y-2=0【详解】解：因为曲线在点（1,－1）处的切线方程是由点斜式可知为x-y-2=08．已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为_________【答案】【分析】作出图形，利用图形可知，当与抛物线的准线垂直时，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值，联立直线与抛物线的方程，可得出点的坐标.【详解】抛物线的焦点为，准线为，过点作，垂足为点，如下图所示：由抛物线的定义，可得，则，当、、三点共线，即当时，取最小值，此时直线的方程为，联立，解得，即点.因此，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为.故答案为：.9．已知两点，，给出下列曲线方程：①；②；③；④.则在曲线存在点满足的所有曲线方程的序号是____【答案】②④【分析】所求曲线上存在点满足等价于曲线与线段的垂直平分线有公共点，利用已知条件求出线段的垂直平分线方程，结合直线与曲线的位置关系即可求解.【详解】由，得,线段的中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，即.对于①，显然①中的直线与直线平行，不符合题意.对于②，因为圆心为到直线的距离为，所以直线与相交，符合题意.对于③，由，消去，得，所以，故直线与椭圆相离，不符合题意，对于④，由，得双曲线的渐近线方程为，所以直线与双曲线的渐近线平行，所以直线与双曲线有一个交点，符合题意.故答案为：②④.10．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，延长交于点，若，则椭圆的离心率__________.【答案】【分析】根据题意，由椭圆的定义结合条件表示出，然后在中由勾股定理可得的关系，结合离心率的公式即可得到结果.【详解】根据题意，不妨设椭圆方程为，设，则，因为，且，所以为等腰直角三角形，故，故，在中，，即，化简可得，即，且，所以故答案为:  二、单选题11．设圆C与圆外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（ ）A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆【答案】A【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可的动点的轨迹．【详解】设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆的圆心为A，∵圆C与圆外切，与直线y=0相切，∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选：A.点评：本题考查了圆的切线，两圆的位置关系及抛物线的定义，动点的轨迹的求法，是个基础题． 12．若曲线C 的方程为：，则该曲线（    ）A．曲线关于轴对称B．曲线的顶点坐标为C．曲线位于直线的左侧D．曲线过坐标原点【答案】C【分析】根据方程的性质，方程的转化，求导探究单调性，即可逐一进行判断.【详解】因，则，代入不等于代入，所以不关于y轴对称，故A错；又，得，C正确；将代入不成立，故D错误；又，若，，则在上单调递减，当时，，则，若，，则在上单调递增，又时，，故此时，因此的顶点只有一个，且为，B错.故选：C13．椭圆的一个焦点坐标为，则实数（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】将椭圆的方程化为标准方程，结合该椭圆的焦点坐标得出关于实数的方程，解出即可.【详解】椭圆的标准方程为，由于该椭圆的一个焦点坐标为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查利用椭圆的焦点坐标求参数，解题时要将椭圆方程化为标准方程，同时要注意确定椭圆的焦点位置，考查运算求解能力，属于基础题. 三、解答题14．已知直线经过两条直线与的交点且与直线的夹角为，求直线的方程.【答案】或【分析】利用联立两条直线方程得出交点坐标，再利用两条直线的夹角公式及直线的点斜式方程即可求解.【详解】由，得，所以，设直线的斜率为，则解得，所以直线的方程为，即，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，也满足题意，所以直线的方程为或.15．如图是某圆拱桥的一孔圆弧拱的示意图，该圆弧拱跨度米，每隔5米有一个垂直地面的支柱，中间的支柱米.(1)建立适当的坐标系求该圆拱桥所在曲线的方程;(2)求其它支柱的高度（精确到0.01米）．【答案】(1)(2)3.11米． 【分析】（1）建立如图所示的直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为，进而待定系数法求解即可；（2）点的横坐标代入这个圆的方程并解方程即可得答案.【详解】（1）解：建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为，由于圆心在轴上，所以，那么方程即为. 因为都在圆上，所以它们的坐标都是这个圆的方程的解，于是有方程组，解得                                             所以，这个圆的方程是．（2）解：由题知点的横坐标为.所以，把点的横坐标代入这个圆的方程，得，所以，因为的纵坐标，故应取正值，所以，（米）．         所以，支柱的高度约为3.11米.16．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？【答案】（Ⅰ）曲线C的方程为．（Ⅱ）时，．【分析】（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为． （Ⅱ）设，其坐标满足消去y并整理得，故． ，即．而，于是．所以时，，故． 当时，，．，而，所以． 【详解】请在此输入详解！17．已知点分别为双曲线Γ：的左、右焦点，直线与Γ有两个不同的交点A，B．(1)当时，求到 l 的距离；(2)若 O 为原点，直线 l 与 Γ 的两条渐近线在一、二象限的交点分别为 C，D，证明；当的面积最小时，直线 CD 平行于x轴；(3)设 P 为 x 轴上一点，是否存在实数 ，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 k 的值及点 P 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)存在，，. 【分析】（1）由题可得焦点坐标，可得直线方程，然后利用点到直线的距离即得；（2）求得两渐近线方程，联立方程可得，进而即得；（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，联立直线与椭圆方程利用韦达定理，结合条件可得AB的中点，再由，则，求解即可．【详解】（1）由双曲线Γ：的左焦点，右焦点，当时， ，∴，∴直线，故到l的距离；（2）由双曲线Γ：得两渐近线的方程为，∵直线l与Γ的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C，D，∴，由得交点C的横坐标为，由得交点D的横坐标为，∴，当时取等号，所以当的面积最小时，直线CD平行于x轴；（3）假设存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，设，由，消去y得，∴且，解得且，， AB的中点，所以AB的垂直平分线方程为，令，则，又，则，∴，∴，∴，∴， ∴，解得，又，故，点，即存在实数，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，此时．